Оглавление
Сопряженный элемент (теория поля)
-
Определение сопряженных элементов
- Сопряженные элементы алгебраического элемента α над расширением поля L/K являются корнями минимального многочлена pK,α(x) от α над K.
- Сопряженные элементы называются сопряженными в контекстах, где это не двусмысленно.
- Сам α входит в набор конъюгатов α.
-
Эквивалентные определения
- Сопряженные элементы α являются изображениями α под автоморфизмами полей L, которые оставляют фиксированными элементы K.
- Эквивалентность этих двух определений является отправной точкой теории Галуа.
-
Обобщение комплексного сопряжения
- Алгебраические сопряжения над R частью комплексного числа являются само число и его комплексно-сопряженный элемент.
-
Пример
- Кубическими корнями числа один являются:
- Последние два корня являются сопряженными элементами в Q[i√3] с минимальным многочленом.
-
Свойства сопряженных элементов
- Если K задано внутри алгебраически замкнутого поля C, то сопряженные могут быть взяты внутри C.
- Если такой C не указан, можно взять сопряжения в некотором относительно небольшом поле L.
- Наименьший возможный выбор для L – это взять поле разделения по K из pK,α, содержащее α.
- Если L – это любое нормальное расширение K, содержащее α, то по определению оно уже содержит такое поле расщепления.
- Учитывая нормальное расширение L из K с группой автоморфизмов Aut(L/K) = G и содержащее α, любой элемент g(α) для g в G будет сопряжен с α.
- И наоборот, любое сопряжение β с α имеет такую форму: другими словами, G действует транзитивно на сопряженные элементы.
- Это следует из того, что K(α) K-изоморфно K(β) в силу неприводимости минимального многочлена.
- Таким образом, сопряженные элементы α находятся в любом нормальном расширении L из K, содержащем K(α), как набор элементов g(α) для g в Aut(L/K).
- Количество повторов в этом списке каждого элемента равно разделяемой степени [L:K(α)]sep.
-
Теорема Кронекера
- Если α – ненулевое алгебраическое целое число, такое, что α и все его сопряженные элементы в комплексных числах имеют абсолютное значение не более 1, то α является корнем из единицы.
- Существуют количественные формы этого выражения, указывающие более точные границы наибольшего абсолютного значения сопряжения, которые подразумевают, что алгебраическое целое число является корнем из единицы.