Чисто неотделимое расширение
-
Определение чисто неотделимых расширений
- Чисто неотделимые расширения полей — это расширения k ∈ K с характеристикой p > 0, где каждый элемент из K является корнем уравнения вида xq = a.
- Такие расширения иногда называют радикальными расширениями, но не следует путать с более общим понятием радикальных расширений.
-
Свойства чисто неотделимых расширений
- Алгебраическое расширение E ⊇ F является чисто неотделимым, если для каждого α ∈ E ∖ F минимальный многочлен от α над F не является разделяемым.
- Если F — любое поле, то тривиальное расширение F ⊇ F является чисто неотделимым.
- Для нетривиального чисто неотделимого расширения F должно быть несовершенным.
-
Эквивалентные определения
- E совершенно неотделимо от F, если для каждого α ∈ E существует n ≥ 0 такое, что αpn ∈ F.
- Каждый элемент E имеет минимальный многочлен над F вида Xpn − a для некоторого n ≥ 0 и a ∈ F.
-
Примеры чисто неотделимых расширений
- Если F — несовершенное поле с простой характеристикой p, можно выбрать a ∈ F, не являющееся p-й степенью, и f(X) = Xp − a, чтобы получить нетривиальное чисто неотделимое расширение F[α].
- В алгебраической геометрии над полями с простыми характеристиками чисто неотделимые расширения возникают естественным образом.
-
Свойства чисто неотделимых расширений
- Если F ⊆ K ⊆ E, то K чисто неотделимо от F и E чисто неотделимо от K.
- Если [E : F] конечно, то это степень p, характеристика F.
- Если E ⊇ F является нетривиальным неотделимым расширением конечной степени, то [E : F] обязательно делится на характеристику F.
-
Соответствие Галуа для чисто неотделимых расширений
- Якобсон представил вариацию теории Галуа для чисто неотделимых расширений показателя степени 1.
- В этом случае алгебра Ли K-производных от L является ограниченной алгеброй Ли, которая также является векторным пространством размерности n над L.
- Чисто неотделимое расширение называется модульным, если оно является тензорным произведением простых расширений.