Оглавление
- 1 Спираль Эйлера
- 1.1 История и свойства спирали Эйлера
- 1.2 Применение в дифракции
- 1.3 Применение в оптике
- 1.4 Применение в других областях
- 1.5 Разложение интеграла Френеля
- 1.6 Нормализация кривой Эйлера
- 1.7 Процесс получения решения
- 1.8 Иллюстрация нормализации
- 1.9 Другие свойства нормализованных спиралей Эйлера
- 1.10 Полный текст статьи:
- 2 Спираль Эйлера
Спираль Эйлера
-
История и свойства спирали Эйлера
- Спираль Эйлера — кривая с линейно изменяющейся кривизной.
- Кривизна начинается с нуля на касательной и увеличивается с длиной кривой.
- Спираль Эйлера была описана Мари Альфредом Корню в 1874 году.
- Спираль Эйлера используется в дифракционных расчетах и строительстве железных дорог.
-
Применение в дифракции
- Спираль Эйлера применяется для описания дифракционной картины.
- Интеграл Френеля определяет спираль Эйлера.
- Спираль Эйлера используется для упрощения расчетов затухания волн.
-
Применение в оптике
- Спираль Корню используется для описания дифракции света.
- Спираль Эйлера применяется в фотонных интегральных схемах для уменьшения потерь.
- Спираль Эйлера используется в волноводах для сглаживания кривизны.
-
Применение в других областях
- Спираль Эйлера используется в автогонках для оптимизации трасс.
- Спираль Эйлера применяется в типографике и цифровой векторной графике.
- Спираль Эйлера используется в картографической проекции для уменьшения искажений.
- Спираль Эйлера аппроксимирует формы усов крыс.
-
Разложение интеграла Френеля
- Интегралы Френеля (или интегралы Эйлера) задают декартовы координаты нормализованной кривой Эйлера.
- Для нормализованной кривой Эйлера a = 1, что приводит к интегралам: C(L) = ∫0L cos(s2) ds, S(L) = ∫0L sin(s2) ds.
-
Нормализация кривой Эйлера
- Для заданной кривой Эйлера с 2RL = 2RcLs = 1/a2, где a = 1/√2RcLs, интегралы Френеля преобразуются в: x = 1/a ∫0L’ cos(s2) ds, y = 1/a ∫0L’ sin(s2) ds.
- L’ = aL, где a = 1/√2RcLs.
-
Процесс получения решения
- Отобразите L исходной спирали Эйлера на L’ нормализованной спирали Эйлера.
- Найдите (x’, y’) из интегралов Френеля.
- Преобразуйте (x’, y’) в (x, y), увеличив масштаб с коэффициентом 1/a.
-
Иллюстрация нормализации
- Пример: Rc = 300 м, Ls = 100 м, θs = 1/6 рад.
- Нормализация уменьшает L’ до 100√6 м, что приводит к Rc’ = 3/6 м, Ls’ = 1/6 м, 2Rc’Ls’ = 1.
- θs = 1/6 рад, что подтверждает геометрическое сходство исходной и нормализованной спиралей Эйлера.
-
Другие свойства нормализованных спиралей Эйлера
- Нормализованные спирали Эйлера могут быть выражены через интегралы Френеля или степенные ряды.
- Нормализованная спираль Эйлера сходится к одной точке при L → ∞.
- Нормализованные спирали Эйлера обладают свойствами: 2RcLs = 1, θs = Ls2, θ = L2, 1/R = 2L.