Оглавление
- 1 Стабильный векторный пучок
- 1.1 Определение стабильных векторных расслоений
- 1.2 Мотивация для анализа стабильных векторных пучков
- 1.3 Пример семейства векторных расслоений
- 1.4 Стабильные векторные расслоения над кривыми
- 1.5 Стабильные векторные расслоения в более высоких измерениях
- 1.6 Устойчивость склона
- 1.7 Фильтрация Хардера-Нарасимхана
- 1.8 Переписка Кобаяши и Хитчина
- 1.9 Обобщения
- 1.10 Другие направления для обобщений
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Стабильное векторное расслоение
Стабильный векторный пучок
-
Определение стабильных векторных расслоений
- Стабильные векторные расслоения устойчивы в смысле теории геометрических инвариантов.
- Любое голоморфное векторное расслоение может быть построено из стабильных векторов.
- Стабильные пучки были определены Дэвидом Мамфордом и развиты другими учеными.
-
Мотивация для анализа стабильных векторных пучков
- Стабильные векторные пучки хорошо ведут себя в семействах.
- Пространства модулей устойчивых векторных расслоений могут быть построены с использованием схемы Quot;.
- Стек векторных расслоений BGLn представляет собой стек Artin с базовым набором в одной точке.
-
Пример семейства векторных расслоений
- Семейство векторных расслоений Et в расширении от t⋅v имеет скачки числовых инвариантов.
- В пространствах модулей устойчивых векторных расслоений таких скачков не происходит.
-
Стабильные векторные расслоения над кривыми
- Наклон голоморфного векторного расслоения W над неособой кривой равен μ(W) = град(W)/ранг(W).
- Пучок W стабилен, если μ(V) < μ(W) для всех собственных ненулевых подобластей V из W.
- Пространство модулей устойчивых расслоений над неособой кривой является квазипроективным алгебраическим многообразием.
-
Стабильные векторные расслоения в более высоких измерениях
- Векторное расслоение W на гладком проективном многообразии X называется устойчивым, если μ(V) < μ(W) для всех собственных ненулевых подобластей V из W.
- W называется полустабильным, если μ(V) ≤ μ(W).
-
Устойчивость склона
- Наклон векторного пучка E относительно гиперплоскостного сечения H равен μ(E) = c1/c2.
- Когерентный пучок E без кручения является μ-полустабильным, если μ(F) ≤ μ(E) для любого ненулевого подпучка F.
- Он μ-стабилен, если μ(F) < μ(E) для любого ненулевого подпучка F меньшего ранга.
-
Фильтрация Хардера-Нарасимхана
- Существует уникальная фильтрация по подразделам, где связанные градуированные компоненты являются полустабильными векторными расслоениями.
- Два векторных расслоения с изоморфно связанными градациями называются S-эквивалентными.
-
Переписка Кобаяши и Хитчина
- Устойчивые расслоения на проективной неособой кривой соответствуют проективно плоским унитарным неприводимым связям.
- В более высоких измерениях устойчивые расслоения соответствуют неприводимым связям Эрмитова-Эйнштейна.
-
Обобщения
- Можно обобщить устойчивость на негладкие проективные схемы и когерентные пучки.
- Когерентный пучок E является полустабильным, если pF(m) ≤ pE(m) при больших m.
- E является устойчивым, если pF(m) < pE(m) для больших m.
-
Другие направления для обобщений
- Существуют другие направления для обобщений, такие как условия стабильности Бриджленда.
- Можно определить стабильные главные расслоения по аналогии со стабильными векторными расслоениями.