Оглавление
- 1 Конструкция проекта
- 1.1 Проекция градуированного кольца
- 1.2 Проект как схема
- 1.3 Связка, связанная с градуированным модулем
- 1.4 Проективное n-пространство
- 1.5 Примеры проектов
- 1.6 Проективные схемы и взвешенные проективные пространства
- 1.7 Увеличенные кольца и проективные произведения
- 1.8 Глобальный проект
- 1.9 Допущения и построение
- 1.10 Скручивающийся сноп и проекция квазикогерентного пучка
- 1.11 Проективные пространственные расслоения
- 1.12 Пример глобального проекта
- 1.13 Полный текст статьи:
- 2 Строительство проекта – Википедия
Конструкция проекта
-
Проекция градуированного кольца
- Проекция градуированного кольца S определяется как множество однородных простых идеалов, не содержащих S+.
- Топология Зариски на Проекции S определяется замкнутыми множествами V(a), где a — однородный идеал из S.
-
Проект как схема
- Проекция S строится как схема с помощью структурного пучка OX, который определяется как множество функций, удовлетворяющих определенным условиям.
- Связка OX является квазикогерентной и восстанавливает алгебраическую информацию о S.
-
Связка, связанная с градуированным модулем
- Для любого градуированного модуля M над S можно построить квазикогерентный пучок M~ на Проекции S.
- Особый случай — скручивающийся пучок Серра O(1), который восстанавливает информацию о S.
-
Проективное n-пространство
- Проективное n-пространство над кольцом A определяется как схема с градуировкой на кольце многочленов A[x0, …, xn].
- Разделы O(1) являются линейными однородными многочленами, порожденными x0, …, xn.
-
Примеры проектов
- Проекция на аффинную линию: X = Проекция (A[X, Y, Z] ∙ (ZY2 − X(X − Z)(X − λZ)) ∙) имеет канонический проективный морфизм к аффинной прямой Aλ1.
- Проективная гиперповерхность: Проекция (C[X0, …, X4] / (X05 + … + X45)) является примером квинтичного тройного многообразия Ферма.
-
Проективные схемы и взвешенные проективные пространства
- Проективные схемы могут быть построены с использованием конструкции proj для градуированных алгебр.
- Взвешенные проективные пространства строятся с использованием кольца полиномов с нестандартными степенями.
-
Увеличенные кольца и проективные произведения
- Конструкция proj распространяется на двухступенчатые и многоступенчатые кольца.
- Геометрически это соответствует получению произведений проективных схем.
-
Глобальный проект
- Обобщение конструкции Proj заменяет кольцо S пучком алгебр.
- Полученная схема может рассматриваться как расслоение колец Proj.
-
Допущения и построение
- Формально, пусть X – любая схема, а S – пучок градуированных O-алгебр.
- Построение схемы Proj S включает определение схем YU для каждого открытого аффинного U и карт pU.
-
Скручивающийся сноп и проекция квазикогерентного пучка
- Если S обладает дополнительным свойством, то можно создать дальнейшую конструкцию.
- Проекция квазикогерентного пучка E на схеме X дает проективное пространство P(E).
-
Проективные пространственные расслоения
- В случае, когда E локально свободен от ранга n+1, получаем проективное расслоение P(E) над X.
- Многие семейства многообразий могут быть построены как подсхемы этих проективных расслоений.
-
Пример глобального проекта
- Глобальный проект может быть использован для создания карандашей Лефшеца.
- Пример: построение глобального проекта фактор-пучка алгебр O[x0, …, xn]/(sf+tg) на Ps,t1.