Оглавление
- 1 Набор модулей
- 1.1 Связки O-модулей
- 1.2 Операции с O-модулями
- 1.3 Морфизмы и проекционная формула
- 1.4 Свойства O-модулей
- 1.5 Связка, связанная с модулем
- 1.6 Связка, связанная с градуированным модулем
- 1.7 Скручивающий пучок Серра
- 1.8 Вычисление когомологий пучков
- 1.9 Теорема Серра об исчезновении
- 1.10 Удлинение пучка
- 1.11 Локально свободные разрешения
- 1.12 Примеры
- 1.13 Полный текст статьи:
- 2 Связка модулей – Википедия
Набор модулей
-
Связки O-модулей
- Связка O-модулей F над кольцевым пространством (X, O) — это связка, где F(U) является O(U)-модулем для любого открытого подмножества U из X.
- Ограничения отображений F(U) → F(V) совместимы с ограничениями O(U) → O(V).
- Примеры: касательный пучок, канонический пучок, пучок алгебр.
-
Операции с O-модулями
- Тензорное произведение и двойственный модуль определяются аналогично пучкам.
- Для локально свободных пучков конечного ранга существует канонический гомоморфизм.
- Группа Пикара X отождествляется с первой группой когомологий H1(X, O∗).
-
Морфизмы и проекционная формула
- Прямой и обратный пучки изображений определяются через морфизмы кольцевых пространств.
- Существует сопряженное отношение между f∗ и f∗.
- Проекционная формула связывает O-модули и локально свободные O’-модули конечного ранга.
-
Свойства O-модулей
- O-модуль генерируется глобальными разделами, если существует объединение O-модулей, генерирующих F.
- Инъективные O-модули являются плоскими.
- i-й правый производный функтор от функтора глобального сечения совпадает с обычными когомологиями i-го пучка.
-
Связка, связанная с модулем
- Для модуля M над кольцом A существует B-пучок M~ на X, определяемый через локализацию.
- M~ имеет структуру OX-модуля и определяет эквивалентность между ModA и категорией квазикогерентных пучков на X.
- Конструкция обладает свойствами, такими как изоморфизмы и эквивалентности.
-
Связка, связанная с градуированным модулем
- Для градуированного R-модуля M существует O-модуль M~ на проективной схеме X.
- Изоморфизмы определяются через локализацию на аффинной схеме.
-
Скручивающий пучок Серра
- Двойственен тавтологическому линейному расслоению
- Если R конечно порождено в первой степени, то F(n) изоморфен F тогда и только тогда, когда F квазикогерентно
-
Вычисление когомологий пучков
- Когомологии пучков трудно вычислить
- Теорема: если U – открытая крышка X, то H(U, F) = 0 для всех i и p
- Для любого i, H(X, F) = H(U, F)
-
Теорема Серра об исчезновении
- Если X – проективное многообразие, а F – когерентный пучок, то F(n) порождается конечным числом глобальных сечений при достаточно большом n
- Для каждого i Hi(X, F) конечно порождается над R0
- Существует целое число n0, такое что H(X, F(n)) = 0 для i ≥ 1 и n ≥ n0
-
Удлинение пучка
- Расширение H на F – короткая точная последовательность O-модулей
- Классы эквивалентности расширений образуют абелеву группу, изоморфную Ext1(H, F)
- В случае H = O, Ext1(O, F) = Γ(X, −)
-
Локально свободные разрешения
- Для проективной схемы X и когерентных пучков F, G существует n0 такое, что Ext(F, G) может быть вычислен для любого i
- Локально свободные разрешения могут быть использованы для вычисления Ext(F, G)
-
Примеры
- Гиперповерхность: разрешение O(d)
- Объединение гладких полных пересечений: разрешение OX, которое можно использовать для вычисления Ext(OX, F)