Оглавление
Набор модулей
-
Основы теории пучков
- Пучки – это модули, которые локально похожи на кольца.
- Пучки могут быть определены на топологических пространствах, проективных схемах и других объектах.
- Пучки на проективных схемах могут быть описаны как O-модули, где O – структура кольца на схеме.
-
Эквивалентность пучков и модулей
- Пучки и модули эквивалентны, если они имеют одинаковую базу и структуру пучка.
- Эквивалентность пучков и модулей позволяет использовать методы теории модулей для изучения пучков.
-
Структура пучка
- Пучки имеют структуру, аналогичную структуре модулей, с операциями сложения, умножения и гомоморфизмами.
- Пучки могут быть градуированными, что позволяет изучать их когомологии.
-
Примеры и вычисления
- Примеры включают гладкие гиперповерхности и схемы, состоящие из гладких полных пересечений.
- Вычисление Ext-групп для пучков на проективных схемах может быть выполнено с использованием локально свободных разрешений.
-
Теоремы и факты
- Теорема о точной последовательности связывает точную последовательность пучков с точной последовательностью модулей.
- Теорема Серра об исчезновении утверждает, что крутка Серра когерентного пучка на проективном многообразии порождается конечным числом сечений.
- Существуют методы вычисления Ext-групп для когерентных пучков, основанные на теореме Серра.
-
Расширения пучков
- Расширения пучков представляют собой короткие точные последовательности пучков.
- Группа Ext
- O
- 1
-
- (
- H
- ,
- F
- )
- {\displaystyle \name оператора {Ext} _{O}^{1}(H,F)}
- является абелевой группой, изоморфной Ext-группам для пучков.
-
Локально свободные разрешения
- Локально свободные разрешения позволяют вычислять Ext-группы для когерентных пучков.
- Для вычисления Ext-групп можно использовать сложные решения, которые представляют собой пучки, локально эквивалентные O.
Полный текст статьи: