Оглавление
- 1 Когерентный пучок
- 1.1 Определение когерентных пучков
- 1.2 Свойства когерентных пучков
- 1.3 Основные конструкции когерентных пучков
- 1.4 Когерентные пучки и их свойства
- 1.5 Идеальные снопы и их свойства
- 1.6 Структурные пучки и их свойства
- 1.7 Функциональные свойства когерентных пучков
- 1.8 Локальное поведение когерентных пучков
- 1.9 Примеры векторных расслоений
- 1.10 Линейные пучки на проективном пространстве
- 1.11 Алгебраическое описание когерентных пучков
- 1.12 Касательное расслоение и векторные расслоения
- 1.13 Построение Серра и векторные расслоения
- 1.14 Классы Черна и алгебраическая K-теория
- 1.15 Применения свойства разрешения
- 1.16 Вычисление общего класса Черна
- 1.17 Различие между гомоморфизмами расслоений и пучков
- 1.18 Категория квазикогерентных пучков
- 1.19 Когерентные когомологии
- 1.20 Полный текст статьи:
- 2 Связный пучок
Когерентный пучок
-
Определение когерентных пучков
- Когерентные пучки — это снопы от O-модулей, удовлетворяющие определенным свойствам.
- Они образуют абелеву категорию и закрываются при операциях, таких как получение ядер, изображений и коядер.
- Квазикогерентные пучки — это обобщение когерентных пучков, включающее локально свободные пучки бесконечного ранга.
-
Свойства когерентных пучков
- Когерентные пучки на схеме эквивалентны пучкам, связанным с модулями над аффинными подсхемами.
- Когерентные пучки образуют абелеву категорию на любом окруженном пространстве.
- Прямая сумма двух когерентных пучков также является когерентным.
- Подмодуль когерентного пучка является когерентным, если он имеет конечный тип.
-
Основные конструкции когерентных пучков
- Векторные расслоения — это локально свободные пучки конечного ранга.
- Векторные расслоения на проективных схемах связаны с конечно порожденными проективными модулями.
- Градуированные модули над нетеровыми кольцами определяют квазикогерентные пучки.
- Линейные пучки — это обратимые пучки, связанные с градуированными модулями.
-
Когерентные пучки и их свойства
- Когерентные пучки — это пучки, которые сохраняют линейные операции.
- Примеры когерентных пучков: O(n) на проективной n-сфере, O(1) на аффинной линии.
- Когерентные пучки имеют постоянное волокно в открытых множествах.
-
Идеальные снопы и их свойства
- Идеальные снопы — это пучки, состоящие из функций, исчезающих при замкнутой подсхеме.
- Идеальные снопы являются последовательными, если подсхема локально нетерова.
- Идеальные снопы имеют волокно нулевого размера в точках открытого множества и размерности 1 в точках подсхемы.
-
Структурные пучки и их свойства
- Структурные пучки — это связные пучки, которые можно рассматривать как прямые пучки изображений.
- Структурные пучки имеют волокно нулевого размера в точках открытого множества и размерности 1 в точках подсхемы.
-
Функциональные свойства когерентных пучков
- Обратное изображение когерентного пучка при морфизме схем является когерентным.
- Прямое изображение когерентного пучка при правильном морфизме является когерентным.
-
Локальное поведение когерентных пучков
- Когерентные пучки контролируют поведение в окрестности точек.
- Размерность слоев когерентного пучка полунепрерывна в верхней части.
- Когерентный пучок является векторным расслоением, если его основа является бесплатным модулем.
-
Примеры векторных расслоений
- Пучок дифференциалов ΩX/Y1 является когерентным пучком на X над Y.
- Кокасательный пучок Ω1 является векторным расслоением на гладкой схеме X.
- Касательный пучок TX определяется как двойной пучок (Ω1)∗.
- Каноническая связка KX на однородном разнообразии X является линейным пучком Ωn.
- Линейные расслоения O(j) на проективном пространстве Pn определяются как функции, однородные по степени j.
-
Линейные пучки на проективном пространстве
- Каждый однородный многочлен степени j над R может рассматриваться как глобальный раздел O(j) над Pn.
- Замкнутые подсхемы проективного пространства определяются как нулевые множества однородных многочленов.
- Регулярные функции в проективном пространстве являются константами, что делает важными линейные пучки O(j).
-
Алгебраическое описание когерентных пучков
- Серр дал алгебраическое описание когерентных пучков на Pn через градуированные S-модули.
- Каждый связный пучок на Pn возникает из конечно порожденного градуированного S-модуля.
- Абелева категория когерентных пучков является частным от категории конечно порожденных градуированных S-модулей.
-
Касательное расслоение и векторные расслоения
- Касательное расслоение Pn над полем k изоморфно O(1).
- Каноническая связка KPn изоморфна O(-n-1), что означает, что Pn является многообразием Фано.
- Векторные расслоения на гиперповерхностях определяются через точные последовательности.
-
Построение Серра и векторные расслоения
- Конструкция Серра устанавливает соответствие между векторными расслоениями 2-го ранга и подмногообразиями коразмерности 2.
- Соответствие задается когомологическим условием на линейном расслоении ∧2E.
- Линейный пучок ωX ⊗ ∧2E|V(s) изоморфен каноническому расслоению ωV(s) на V(s).
-
Классы Черна и алгебраическая K-теория
- Векторное расслоение E на гладком многообразии X имеет классы Черна в CHi(X) для i ≥ 0.
- Классы Черна зависят только от класса E в группе Гротендика K0(X).
- K0(X) является частным от свободной абелевой группы на множестве классов изоморфизма векторных расслоений.
- G0(X) (или K0′(X)) является группой когерентных пучков Гротендика на X.
- Естественный гомоморфизм K0(X) → G0(X) является изоморфизмом для регулярных разделенных нетеровых схем.
-
Применения свойства разрешения
- Свойство разрешающей способности утверждает, что когерентный пучок E на нетеровой схеме квазиизоморфен комплексу векторных расслоений Ek → ⋯ → E1 → E0.
-
Вычисление общего класса Черна
- Формула полезна для нахождения классов Черна в связке, представляющей подсхему X.
- Пример: проективная схема Z, ассоциированная с идеалом (xy, xz) ⊆ C[x, y, z, w].
-
Различие между гомоморфизмами расслоений и пучков
- Векторные расслоения и локально свободные пучки конечного постоянного ранга используются взаимозаменяемо.
- Гомоморфизм расслоений φ: E → F является морфизмом схемы, удовлетворяющим условию φx: p−1(x) → q−1(x) является линейной картой ранга, не зависящей от x.
- Гомоморфизм пучков φ~: E → F постоянного ранга между соответствующими локально свободными OX-модулями.
- Проблема: OX-гомоморфизмы модулей могут не возникать таким образом, например, подгруппа E ⊆ F может не быть подпучком.
-
Категория квазикогерентных пучков
- Квазикогерентные пучки образуют абелеву категорию на любой фиксированной схеме.
- Габбер показал, что квазикогерентные пучки образуют категорию Гротендика.
- Квазикомпактная квазиразделенная схема X определяется с точностью до изоморфизма абелевой категорией квазикогерентных пучков на X.
-
Когерентные когомологии
- Теория когомологий когерентных пучков является фундаментальным инструментом в алгебраической геометрии.
- Когомологии когерентных пучков можно рассматривать как инструмент для создания функций с заданными свойствами.
- Основные результаты: конечномерность когомологий, исчезновение когомологий, двойственность Серра, соотношения между топологией и алгебраической геометрией, формулы для эйлеровых характеристик.