Оглавление
Теорема Бертини
-
Теорема Бертини
- Теорема существования и общности гладких связных гиперплоскостных сечений для гладких проективных многообразий над алгебраически замкнутыми полями.
- Введена Эудженио Бертини.
- Самая простая и обширная из теорем Бертини.
-
Утверждение для гиперплоскостных сечений
- Пусть X – гладкое квазипроективное многообразие над алгебраически замкнутым полем.
- Множество гиперплоскостей, не содержащих X и имеющих гладкое пересечение с X, содержит открытое плотное подмножество полной системы делителей.
- Если dim(X) ≥ 2, эти пересечения соединены и неприводимы.
- Общее сечение гиперплоскости, не равное X, является гладким.
-
Схема доказательства
- Учитывается разнообразие ассортимента продукции X × |H|.
- Ранг расслоения в произведении меньше, чем коразмерность X ⊂ Pn.
- Общее пространство имеет меньшую размерность, чем n, и его проекция содержится в делителе всей системы |H|.
-
Общее заявление
- Над любым бесконечным полем k характеристики 0, если X – гладкая квазипроективная k-многообразие, общий элемент линейной системы делителей на X является гладким по отношению к базовому локусу системы.
- Теорема также справедлива при характеристике p>0, когда линейная система f неразветвлена.
-
Обобщения
- Теорема Клеймана утверждает, что для связной алгебраической группы G и однородного G-многообразия X, существует открытая плотная подсхема H из G такая, что для σ ∈ H, Yσ × X Z либо пуст, либо имеет ожидаемое измерение dim Y + dim Z − dim X.
- Теорема Бертини является частным случаем, когда X = Pn, Z – подмногообразие, а Y – гиперплоскость.
- Теорема также обобщена на области дискретного оценивания, конечные поля и пространственные покрытия X.
- Часто используется для индуктивных шагов.