Теорема о гребешке
-
Теорема гребешка
- Пловец, совершающий возвратно-поступательное движение, не может достичь чистого перемещения в ньютоновской жидкости с низким числом Рейнольдса.
- Пловец придает своему телу определенную форму и возвращается к первоначальной форме, выполняя последовательность движений в обратном порядке.
- При низком числе Рейнольдса время и инерция не играют роли, и движение определяется последовательностью форм.
-
Математические основы
- Уравнения Навье-Стокса описывают движение жидкости, но при низком числе Рейнольдса инерционные члены стремятся к нулю.
- В пределе малого числа Рейнольдса уравнения Стокса становятся линейными и независимыми от времени.
-
Доказательство с помощью масштабирования
- Масштабирование гидростатического давления, скорости потока и тензора напряжений не изменяет движение.
- Мгновенная суммарная сила и крутящий момент, действующие на пловца, равны нулю.
-
Доказательство с помощью векторного исчисления
- Линейность уравнений Стокса позволяет связать скорость плавания с полем скоростей жидкости.
- Обратная теорема связывает скорость плавания с походкой пловца.
- Чистое смещение пловца не зависит от скорости, а определяется геометрической последовательностью формы.
-
Симметрия движения
- Среднее смещение за один период равно нулю.
- Форма пловца в начале и конце периода одинакова.
- Чистое перемещение при обратном движении равно противоположному перемещению при прямом движении.
-
Теорема гребешка и её ограничения
- Теорема гребешка утверждает, что возвратно-поступательное движение не может быть использовано для чистого движения в условиях с низким числом Рейнольдса.
- Это ограничение справедливо для ньютоновской жидкости и отсутствия инерции и внешних сил.
-
Исключения из теоремы гребешка
- В вязких средах пловцы могут демонстрировать невзаимную кинематику тела.
- В неньютоновских жидкостях пловцы также могут передвигаться.
-
Типы невзаимного движения
- Пловец Перселла обладает двумя степенями свободы и демонстрирует невзаимную деформацию тела.
- Микроскопические организмы используют различные механизмы для невзаимного движения, такие как жгутики и гибкие рычаги.
-
Неньютоновские жидкости и их свойства
- Неньютоновские жидкости обладают сложными механическими и реологическими свойствами.
- Эти жидкости могут быть использованы для создания небольших перемещений.
- Неньютоновские жидкости могут разжижаться при сдвиге, что изменяет скорость движения пловца.
-
Примеры и исследования
- Цю и др. (2014) сконструировали микро-гребешок в неньютоновской жидкости.
- Подвижность бактерий и микрошиммер также демонстрируют невзаимное движение.