Теорема Лефшеца о неподвижной точке
-
Определение и свойства числа Лефшеца
- Число Лефшеца — это число, которое описывает количество неподвижных точек отображения.
- Отображение, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, гомотопически эквивалентно отображению с фиксированной точкой.
- Число Лефшеца может быть вычислено через сумму матричных следов линейных отображений, связанных с отображением.
-
Теорема Лефшеца и её следствия
- Теорема Лефшеца утверждает, что если отображение имеет конечное число неподвижных точек, то его число Лефшеца равно сумме индексов этих точек.
- Эта теорема является основой для теоремы Пуанкаре-Хопфа и обобщения теоремы Брауэра о неподвижной точке.
- Число Лефшеца связано с эйлеровой характеристикой пространства через группы гомологий.
-
Исторический контекст и обобщения
- Лефшец представил свою теорему в 1926 году, фокусируясь на точках совпадения, а не на неподвижных точках.
- Фробениус расширил теорему Лефшеца на алгебраические многообразия над конечными полями, используя эндоморфизм Фробениуса.
- Формула трассировки Лефшеца обобщается на алгебраические стеки и может быть переписана в терминах арифметики Фробениуса.
Полный текст статьи: