Теоремы Гёделя о неполноте

Оглавление1 Теоремы Геделя о неполноте1.1 Теорема Геделя о неполноте1.2 Вторая теорема Геделя о неполноте1.3 Условия Гильберта-Бернейса1.4 Последствия для доказательств непротиворечивости1.5 […]

Теоремы Геделя о неполноте

  • Теорема Геделя о неполноте

    • Гедель показал, что любая эффективная система аксиом не может доказать свою собственную непротиворечивость. 
    • Система аксиом должна быть ω-непротиворечивой, чтобы доказать свою собственную непротиворечивость. 
  • Вторая теорема Геделя о неполноте

    • Для любой формальной системы F можно определить формулу Cons(F), которая выражает согласованность F. 
    • Утверждение Cons(F) не может быть доказано в F. 
    • Вторая теорема Геделя о неполноте усиливает первую, показывая, что непротиворечивость F не может быть доказана в F. 
  • Условия Гильберта-Бернейса

    • Стандартное доказательство второй теоремы Геделя требует, чтобы предикат доказуемости удовлетворял условиям Гильберта-Бернейса. 
    • Существуют системы, которые не удовлетворяют этим условиям, но арифметика Пеано их удовлетворяет. 
  • Последствия для доказательств непротиворечивости

    • Вторая теорема Геделя показывает, что система F1 не может доказать непротиворечивость системы F2, если F2 доказывает непротиворечивость F1. 
    • Это означает, что нет надежды доказать непротиворечивость арифметики Пеано с помощью конечных средств, формализуемых в арифметике Пеано. 
    • Следствие указывает на эпистемологическую значимость второй теоремы Геделя, подчеркивая важность доказательства непротиворечивости в менее сомнительных системах. 
    • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала. 

Полный текст статьи:

Теоремы Гёделя о неполноте

Оставьте комментарий