Оглавление [Скрыть]
Теоремы Геделя о неполноте
-
Теорема Геделя о неполноте
- Гедель показал, что любая эффективная система аксиом не может доказать свою собственную непротиворечивость.
- Система аксиом должна быть ω-непротиворечивой, чтобы доказать свою собственную непротиворечивость.
-
Вторая теорема Геделя о неполноте
- Для любой формальной системы F можно определить формулу Cons(F), которая выражает согласованность F.
- Утверждение Cons(F) не может быть доказано в F.
- Вторая теорема Геделя о неполноте усиливает первую, показывая, что непротиворечивость F не может быть доказана в F.
-
Условия Гильберта-Бернейса
- Стандартное доказательство второй теоремы Геделя требует, чтобы предикат доказуемости удовлетворял условиям Гильберта-Бернейса.
- Существуют системы, которые не удовлетворяют этим условиям, но арифметика Пеано их удовлетворяет.
-
Последствия для доказательств непротиворечивости
- Вторая теорема Геделя показывает, что система F1 не может доказать непротиворечивость системы F2, если F2 доказывает непротиворечивость F1.
- Это означает, что нет надежды доказать непротиворечивость арифметики Пеано с помощью конечных средств, формализуемых в арифметике Пеано.
- Следствие указывает на эпистемологическую значимость второй теоремы Геделя, подчеркивая важность доказательства непротиворечивости в менее сомнительных системах.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.