Оглавление [Скрыть]
Теоретико-множественное определение натуральных чисел
-
Определение натуральных чисел
- Натуральные числа – это множество, состоящее из 1 и всех последующих чисел.
- Множество N является наименьшим множеством, содержащим 0 и замкнутым по функции-преемнику S.
- Фреге и Рассел определяли натуральные числа как классы эквивалентности конечных множеств.
-
Аксиомы Пеано
- Аксиомы Пеано описывают свойства натуральных чисел и являются основой арифметики.
- Аксиомы включают определение нуля, аксиомы сложения и аксиомы индукции.
- Аксиомы Пеано эквивалентны аксиоме бесконечности в ZF.
-
Индукция и аксиома бесконечности
- Аксиома индукции утверждает, что если каждое подмножество множества A имеет элемент, то и само множество A имеет элемент.
- Аксиома бесконечности утверждает, что множество N бесконечно.
-
Парадокс Рассела и его исправление
- Парадокс Рассела показал противоречивость системы аксиом Пеано.
- Булос, Андерсон и Залта предложили исправление, основанное на теории категорий и “Основах арифметики” Фреге.
-
Источники и рекомендации
- Ссылки на работы Хэтчера, Холмса и других авторов, а также на авторские права и цитаты.
Полный текст статьи: