Оглавление [Скрыть]
Теория обновления
-
Теория обновления
- Обобщает пуассоновский процесс на произвольное время ожидания
- Время ожидания может быть любым IID с конечным средним значением
- Процесс обновления с вознаграждением учитывает случайную последовательность вознаграждений
-
Функции обновления и вознаграждения
- Функция обновления m(t) описывает ожидаемое количество прибывших
- Функция вознаграждения g(t) описывает ожидаемую величину вознаграждения
- Функция обновления удовлетворяет рекурсивному интегральному уравнению
-
Асимптотические свойства
- Процессы обновления и вознаграждения обладают свойствами, аналогичными строгому закону больших чисел
- Почти наверняка, количество обновлений и вознаграждений стремится к бесконечности
-
Парадокс проверки
- Интервал обновления, содержащий t, стохастически больше, чем первый интервал обновления
- Разрешение парадокса связано с смещением выборки
-
Суперпозиция процессов обновления
- Суперпозиция двух независимых процессов обновления не является процессом обновления
- Кумулятивная функция распределения времени между первыми событиями определяется формулой
-
Пример применения
- Предприниматель Эрик имеет n станков с равномерным сроком службы от 0 до 2 лет.
- Замена станка стоит 2600 евро, если он выходит из строя, и 200 евро, если его можно заменить в любое время.
-
Оптимальная политика замены
- Если Эрик решает заменить станок в момент времени 0 < t < 2, его ожидаемый срок службы составляет 0,5t.
- Общий ожидаемый срок службы всех станков равен:
- Ожидаемая стоимость замены всех станков равна:
-
Долгосрочные средние затраты
- Согласно строгому закону больших чисел, долгосрочные средние затраты в единицу времени равны:
- Дифференцируя относительно t, получаем:
- Поворотные точки удовлетворяют:
- Единственное решение t из [0, 2]: t = 2/3.
-
Анализ решения
- t = 2/3 является минимумом, а не максимумом, так как затраты стремятся к бесконечности при t = 0 и уменьшаются при t > 2/3.