Оглавление
- 1 Теория стабильности
- 1.1 Теория устойчивости в математике
- 1.2 Измерение расстояний в дифференциальных уравнениях
- 1.3 Устойчивость по Ляпунову
- 1.4 Асимптотические свойства решений
- 1.5 Линеаризация системы
- 1.6 Стабильность неподвижных точек в 2D
- 1.7 Классификация типов устойчивости
- 1.8 Особые случаи
- 1.9 Устойчивость неподвижных точек
- 1.10 Тесты на устойчивость
- 1.11 Карты
- 1.12 Линейные автономные системы
- 1.13 Нелинейные автономные системы
- 1.14 Функция Ляпунова
- 1.15 Полный текст статьи:
- 2 Теория устойчивости – Arc.Ask3.Ru
Теория стабильности
-
Теория устойчивости в математике
- Рассматривает устойчивость решений дифференциальных уравнений и траекторий динамических систем.
- Уравнение теплопроводности стабильно, так как небольшие изменения исходных данных приводят к небольшим колебаниям температуры.
-
Измерение расстояний в дифференциальных уравнениях
- Используются нормы Lp или sup для измерения расстояний между функциями.
- В дифференциальной геометрии используется расстояние Громова–Хаусдорфа для измерения расстояний между пространствами.
-
Устойчивость по Ляпунову
- Орбита называется устойчивой по Ляпунову, если прямая орбита любой точки находится в достаточно малой окрестности.
- Для подтверждения стабильности или нестабильности орбиты разработаны различные критерии.
-
Асимптотические свойства решений
- Теория устойчивости рассматривает, будет ли ближайшая орбита бесконечно оставаться близкой к заданной орбите.
- Орбита называется стабильной, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что каждое решение с начальными условиями в пределах δ остается в пределах ε.
- Орбита называется асимптотически устойчивой, если она стабильна и существует δ0 > 0 такое, что при ‖f(t0) − fe‖ < δ0, f(t) → fe как t → ∞.
-
Линеаризация системы
- Качественное поведение орбиты при возмущениях можно проанализировать с помощью линеаризации системы вблизи орбиты.
- При каждом равновесии гладкой динамической системы существует матрица A n×n, собственные значения которой характеризуют поведение близлежащих точек.
-
Стабильность неподвижных точек в 2D
- Парадигматическим случаем является стабильность начала координат в линейном автономном дифференциальном уравнении.
- Классификация типов устойчивости основана на значениях det A и tr A.
-
Классификация типов устойчивости
- Если det A = 0, ранг A равен нулю или единице.
- Если tr A > 0, система нестабильна, расходясь со скоростью a от ker A вдоль параллельных переводов im A.
- Если tr A < 0, система стабильна, сходясь со скоростью a к ker A вдоль параллельных переводов im A.
-
Особые случаи
- Если det A ≠ 0, матрица A может быть в одной из трех форм, что определяет тип потока.
- Если det A = 0, система может быть источником, раковиной, седловой точкой или спиральной.
- Если tr A = 0, поток сохраняет площадь, и тип потока классифицируется по det A.
-
Устойчивость неподвижных точек
- Неподвижная точка (равновесие) является самым простым видом орбиты.
- Устойчивое равновесие приводит к локализованному движению при небольшом толчке.
- Неустойчивое равновесие приводит к движению с большой амплитудой.
-
Тесты на устойчивость
- Для линейной системы существуют полезные тесты на устойчивость.
- Устойчивость нелинейной системы часто можно оценить по устойчивости её линеаризации.
-
Карты
- Неподвижная точка стабильна, если производная от функции в этой точке строго меньше 1.
- Аналогичный критерий для отображения f: Rn → Rn: если все собственные значения матрицы Якоби строго меньше 1, точка стабильна.
-
Линейные автономные системы
- Устойчивость неподвижных точек системы линейных дифференциальных уравнений можно проанализировать с помощью собственных значений матрицы.
- Решение асимптотически устойчиво при t → ∞, если для всех собственных значений Re(λ) < 0.
- Решение асимптотически устойчиво при t → −∞, если для всех собственных значений Re(λ) > 0.
-
Нелинейные автономные системы
- Асимптотическую устойчивость неподвижных точек нелинейной системы можно установить с помощью теоремы Хартмана-Гробмана.
- Если все собственные значения матрицы Якоби векторного поля строго отрицательны, решение асимптотически устойчиво.
-
Функция Ляпунова
- Общим способом установления устойчивости динамической системы является использование функций Ляпунова.