Оглавление [Скрыть]
- 1 Неровный путь
- 1.1 Теория грубых траекторий
- 1.2 Основные концепции
- 1.3 Мотивация и применение
- 1.4 Универсальная предельная теорема
- 1.5 Примеры грубых траекторий
- 1.6 Теория грубых траекторий
- 1.7 Применение в стохастическом анализе
- 1.8 Теория больших отклонений Фрейдлина–Венцелла
- 1.9 Стохастический поток
- 1.10 Контролируемая неровная траектория
- 1.11 Подпись
- 1.12 Геометрический грубый контур
- 1.13 Восстановление пути
- 1.14 Бесконечные измерения
- 1.15 Полный текст статьи:
- 2 Тернистый путь – Arc.Ask3.Ru
Неровный путь
-
Теория грубых траекторий
- Обобщение понятия гладкого пути для управляемых дифференциальных уравнений
- Разработана Терри Лайонсом в 1990-х годах
- Основана на гармоническом анализе, геометрической алгебре и теории функций Липшица
-
Основные концепции
- Описание плавной, но сильно колеблющейся траектории
- Сигнатура как гомоморфизм из моноида путей в группоподобные элементы свободной тензорной алгебры
- Координатные итерационные интегралы как более тонкая алгебра признаков
-
Мотивация и применение
- Понимание управляемых дифференциальных уравнений с нерегулярными сигналами
- Примеры: винеровские процессы, гауссовы и марковские процессы
- Расширение теории Ито о СДВГ
-
Универсальная предельная теорема
- Последовательность путей сходится к геометрически неровной траектории
- Решение дифференциального уравнения сходится к геометрически неровной траектории
- Карта решения непрерывна и локально липшицева
-
Примеры грубых траекторий
- Броуновское движение: броуновская шероховатая траектория Стратоновича
- Дробное броуновское движение: ограничивающий геометрический грубый путь
- Неуникальность улучшения: существование неуникального подъема траектории
-
Теория грубых траекторий
- Позволяет разобраться в управляемых дифференциальных уравнениях для регулярных векторных полей.
- Каждый случайный процесс может иметь несколько улучшений, что приводит к различным решениям.
- Броуновское движение можно преобразовать в геометрически грубую траекторию.
-
Применение в стохастическом анализе
- Теория грубых траекторий используется для решения стохастических дифференциальных уравнений.
- Примеры включают марковские процессы и гауссовы процессы.
- Доказаны результаты для дробного броуновского движения.
-
Теория больших отклонений Фрейдлина–Венцелла
- Изучает асимптотическое поведение решений стохастических дифференциальных уравнений.
- Универсальная предельная теорема гарантирует непрерывность карты Itô.
- Стратегия применима к дифференциальным уравнениям с любыми стохастическими процессами.
-
Стохастический поток
- Основной вопрос: существует ли карта потока, удовлетворяющая коциклическому свойству.
- Универсальная предельная теорема сводит проблему к существованию броуновского грубого пути.
- Теория грубых путей доказывает существование и уникальность карты потока.
-
Контролируемая неровная траектория
- Управляемые грубые траектории определяются как пути, для которых грубый интеграл может быть определен.
- Пример: функция Lip(γ) удовлетворяет условию Гельдера.
- Решение управляемого дифференциального уравнения является управляемым путем.
-
Подпись
- Определяется как предел сигнатуры последовательности путей.
- Подтверждает личность Чэня.
- Ядро сигнатурного преобразования характеризуется древовидными путями.
-
Геометрический грубый контур
- Xj обозначает j-й тензорный компонент X
- X удовлетворяет S(X)0,1 = (1,0,…) тогда и только тогда, когда X похож на дерево
-
Восстановление пути
- Учитывая сигнатуру пути, можно восстановить уникальный путь без древовидных фрагментов
-
Бесконечные измерения
- Основные результаты теории грубых траекторий можно расширить до бесконечных размеров
- Норма для тензорной алгебры должна удовлетворять определенному условию допустимости