Топология подпространства

• Определение топологии подпространства

  • Топология подпространства — это топология, которая наследуется от топологии пространства, содержащего подпространство. 
  • Подпространство может быть открытым или замкнутым, и его топология определяется как наименьшая топология, содержащая все открытые и замкнутые подмножества. 

• Примеры и свойства

  • Примеры включают подпространства вещественной прямой, рациональных и иррациональных чисел, а также подпространства, такие как [0,1] и [0,1)∪[2,3]. 
  • Топология подпространства обладает свойством, что если отображение из подпространства в пространство является непрерывным, то и композиция с отображением из пространства в подпространство также непрерывна. 
  • Дополнительные свойства включают непрерывность ограничений на подпространство, непрерывность отображений в подпространство и точное определение закрытых множеств в подпространстве. 

• Наследование топологических свойств

  • Некоторые топологические свойства, такие как метризуемость, компактность и хаусдорфовость, наследуются подпространствами. 
  • Другие свойства, такие как полная несвязность и первая счетность, могут быть слабо наследуемыми. 

• Рекомендации

  • Для более подробного изучения топологии подпространства можно обратиться к книгам Бурбаки и Уилларда.