Продукт (теория категорий)

• Определение и свойства продукта

  • Продукт в категории — это морфизм, который отображает произведение множеств в категорию. 
  • Продукт является ассоциативным и обладает дистрибутивностью. 
  • Существуют различные типы продуктов в зависимости от категории, например, декартово произведение в топологии. 

• Примеры и обсуждение

  • Примеры категорий с продуктами включают топологические пространства, модули над кольцами, группы, графы и алгебраические многообразия. 
  • В некоторых категориях, например, в категории полей, продукт не существует. 
  • В категории с конечными множествами объектов каждый продукт является функтором. 

• Ассоциативность и дистрибутивность

  • В декартовой категории с конечными произведениями существуют естественные изоморфизмы, аналогичные свойствам коммутативного моноида. 
  • В дистрибутивной категории существует канонический изоморфизм, связывающий продукт и побочный продукт. 

• Дополнительные понятия

  • Существуют связанные понятия, такие как сопутствующий продукт, диагональный функтор и предел. 
  • В теории категорий существуют специальные типы категорий, такие как декартова замкнутая категория и категориальный откат.