Оглавление
Translational symmetry
-
Трансляционная симметрия в физике и математике
- Трансляционная симметрия — это инвариантность системы уравнений при любом переводе без вращения.
- Дискретная трансляционная симметрия — это инвариантность при дискретном переводе.
- Оператор A на функциях называется трансляционно инвариантным, если результат после применения A не меняется при переводе аргумента.
-
Законы физики и трансляционная симметрия
- Законы физики являются трансляционно инвариантными, если они не различают разные точки в пространстве.
- По теореме Нётер, пространственная трансляционная симметрия физической системы эквивалентна закону сохранения импульса.
-
Симметрия объектов
- Трансляционная симметрия объекта означает, что конкретный перевод не меняет объект.
- Для данного объекта переводы, при которых это применимо, образуют группу симметрии объекта.
-
Геометрия и симметрия
- В геометрии существуют различные группы симметрии, такие как GL(n), SL(n), O(n), SO(n), U(n), SU(n), Sp(n), An, Bn, Cn, Dn, G2, F4, E6, E7, E8, Circle, Lorentz, Poincaré, Conformal group, Diffeomorphism, Loop, Euclidean, Lie group–Lie algebra correspondence, Exponential map, Adjoint representation, Killing form, Index, Simple Lie algebra, Loop algebra, Affine Lie algebra, Dynkin diagrams, Cartan subalgebra, Root system, Weyl group, Real form, Complexification, Split Lie algebra, Compact Lie algebra, Lie group representation, Lie algebra representation, Representation theory of semisimple Lie algebras, Representations of classical Lie groups, Theorem of the highest weight, Borel–Weil–Bott theorem, Particle physics and representation theory, Lorentz group representations, Poincaré group representations, Galilean group representations.
-
Трансляционная симметрия и фундаментальные области
- Трансляционная симметрия подразумевает, что объект бесконечен хотя бы в одном направлении.
- В пространствах с размерностью выше 1 могут быть множественные трансляционные симметрии.
- Для каждого набора k независимых переводных векторов группа симметрии изоморфна Zk.
- В этом случае объект бесконечен во всех направлениях, и множество всех переводов образует решетку.
- Различные базисы переводных векторов образуют одну и ту же решетку, если их можно преобразовать друг в друга матрицей с определителем 1.
- Абсолютное значение определителя матрицы, образованной набором переводных векторов, является гиперобъемом параллелепипеда, который является фундаментальной областью симметрии.
-
Примеры и приложения
- Фризовые узоры имеют трансляционную симметрию и иногда другие виды симметрии.
- Фурье-преобразование с последующим вычислением абсолютных значений является трансляционно-инвариантным оператором.
- Отображение от полиномиальной функции к степени полинома является трансляционно-инвариантным функционалом.
- Мера Лебега является полной трансляционно-инвариантной мерой.