Ультрапродуктовый продукт
-
Определение ультрапродукта
- Ультрапродукт — это частное от прямого произведения семейства структур.
- Все факторы должны иметь одинаковую сигнатуру.
- Ultrapower — это особый случай, где все факторы равны.
-
Метод получения ультрапродуктов
- Используется набор индексов I, структура M для каждого элемента i ∈ I и ультрафильтр U на I.
- Элементы a и b из декартова произведения объявляются эквивалентными, если их компоненты совпадают в U.
- Ультрапродукт — это совокупность частных декартова произведения в отношении эквивалентности.
-
Свойства ультрапродукта
- Ультрапродукт изоморфен одному из факторов, если U — основной ультрафильтр.
- Ультрапродукт действует как пространство продуктов фильтрации, где элементы равны, если они равны почти везде.
- Финитные операции над декартовым произведением определяются поточечно.
-
Сверхдержава
- Сверхдержава — это ультрапродукт, где все факторы M равны.
- Сверхдержава обозначается как ∏U M или M/U.
- Естественное встраивание M в ∏U M отправляет элемент m в U-класс эквивалентности константного кортежа (m)i∈I.
-
Примеры
- Гиперреальные числа — это ультрапроизведение действительных чисел с ультрафильтром по натуральным числам.
- Нестандартные целые числа, комплексные числа и другие структуры могут быть определены аналогично.
- Последовательность ψ, определенная как ψi = 2i, определяет класс эквивалентности, больший, чем ωi = i.
- Последовательность χ, определенная как χi = i для i ≠ 7, но χ7 = 8, принадлежит к тому же классу эквивалентности, что и ω.
-
Теория больших кардиналов и ультрапродукты
- Ультрапродукт всей теоретико-множественной вселенной относительно ультрафильтра U.
- Свойства ультрафильтра U влияют на свойства ультрапродукта.
-
Теорема Лосса
- Любая формула первого порядка верна в ультрапродукте тогда и только тогда, когда набор индексов i, при которых формула верна в M, является членом U.
- Теорема доказывается методом индукции по сложности формулы.
-
Примеры
- Набор S в сверхмощных имеет аналог в ультрапродукте, и формулы первого порядка, включающие S, также действительны для аналога.
- Архимедово свойство вещественных чисел не может быть сформулировано в логике первого порядка и не применимо к гиперреальным числам.
-
Прямые ограничения сверхспособностей
- Прямой предел последовательности сверхмощностей называется ультралимитной или ограничивающей сверхмощностью.
- Для каждого n существует каноническое диагональное вложение An → An+1.
-
Монада ультрапродуктов
- Монада ультрафильтратора и монада ultraproduct являются монадами кодовой плотности включения категории FinFam в категорию Fam.
- Ультрапродукты категорически неизбежны в этом смысле.