Оглавление
- 1 Уравнение Хагена–Пуазейля
- 1.1 Уравнение Хагена–Пуазейля
- 1.2 Условия применимости
- 1.3 Ограничения и исключения
- 1.4 Связь с уравнением Дарси–Вайсбаха
- 1.5 Теоретический вывод
- 1.6 Альтернативный метод
- 1.7 Применение
- 1.8 Градиент скорости и сила сопротивления
- 1.9 Течение Пуазейля в трубе
- 1.10 Поток Пуазейля в кольцевом сечении
- 1.11 Поток Пуазейля с колеблющимся градиентом давления
- 1.12 Плоский поток Пуазейля
- 1.13 Поток Пуазейля через некруглые поперечные сечения
- 1.14 Поток Пуазейля в произвольном поперечном сечении
- 1.15 Уравнение Пуазейля для идеального газа
- 1.16 Аналогия с электрическими цепями
- 1.17 Медицинское применение
- 1.18 Расход канюль
- 1.19 Клиническое значение
- 1.20 Ускорение потока
- 1.21 Вязкие жидкости
- 1.22 Дополнительные ресурсы
- 1.23 Полный текст статьи:
- 2 Уравнение Хагена–Пуазейля
Уравнение Хагена–Пуазейля
-
Уравнение Хагена–Пуазейля
- Определяет перепад давления в ламинарном потоке несжимаемой и ньютоновской жидкости
- Выведено Жаном Пуазейлем и Готтхильфом Хагеном
- Теоретическое обоснование дано Джорджем Стоксом
-
Условия применимости
- Жидкость несжимаемая и ньютоновская
- Поток ламинарный по трубе постоянного сечения
- Ускорение жидкости отсутствует
-
Ограничения и исключения
- Не выполняется при низкой вязкости, широкой и короткой трубе
- Турбулентное течение требует более сложных моделей
-
Связь с уравнением Дарси–Вайсбаха
- Перепад давления связан с напряжением на стенке
- Напряжение определяется феноменологически через число Рейнольдса
-
Теоретический вывод
- Уравнение может быть выведено из уравнений Навье–Стокса
- Ламинарный поток через трубу известен как поток Хагена–Пуазейля
-
Альтернативный метод
- Поток жидкости по трубе описывается силами давления и вязкости
- Вязкость приводит к вытягиванию материала из более быстрой пластинки
-
Применение
- Важен в гемореологии и гемодинамике
- Используется в подаче воздуха в легкие и подкожных инъекциях
-
Градиент скорости и сила сопротивления
- Градиент скорости зависит от радиуса r.
- Сила сопротивления со стороны медленной пластинки отрицательна.
- Суммарная сила равна нулю, что приводит к уравнению Пуазейля.
-
Течение Пуазейля в трубе
- Поток Пуазейля развивается со временем при постоянном градиенте давления.
- Уравнения Навье–Стокса описывают распределение скоростей.
- При t → ∞ восстанавливается решение Пуазейля.
-
Поток Пуазейля в кольцевом сечении
- Распределение скорости и объемный поток зависят от радиусов внутреннего и внешнего цилиндров.
- При R2 = R, R1 = 0 проблема устраняется.
-
Поток Пуазейля с колеблющимся градиентом давления
- Поток по трубам с колеблющимся градиентом давления используется в кровотоке.
- Поле скоростей задается формулой с функциями Кельвина.
-
Плоский поток Пуазейля
- Поток между параллельными пластинами с постоянным градиентом давления.
- Распределение скорости и объемный расход зависят от расстояния между пластинами.
-
Поток Пуазейля через некруглые поперечные сечения
- Джозеф Буссинеск и Джозеф Праудман вывели профили скорости для различных поперечных сечений.
- Для эллиптического сечения скорость зависит от полуосей a и b.
-
Поток Пуазейля в произвольном поперечном сечении
- Основное уравнение сводится к интегрированию уравнения Лапласа.
- Условие на стенках: u = 0.
-
Уравнение Пуазейля для идеального газа
- Объемный расход зависит от теплопередачи и давления.
- Для идеального газа в изотермическом случае можно получить соотношение для перепада давления.
-
Аналогия с электрическими цепями
- Закон Пуазейля соответствует закону Ома для электрических цепей.
- Сопротивление R обратно пропорционально четвертой степени радиуса r.
-
Медицинское применение
- Уравнение Хагена–Пуазейля используется для определения сосудистого сопротивления.
- Скорость потока пропорциональна радиусу в четвертой степени.
-
Расход канюль
- Расход 14-граммовой канюли в 1,73 раза больше, чем у 16-граммовой
- Расход 14-граммовой канюли в 4,16 раза больше, чем у 20-граммовой
- Расход обратно пропорционален длине канюли
-
Клиническое значение
- В экстренных ситуациях предпочтительнее использовать короткие и крупные катетеры
- Длинные и узкие катетеры менее эффективны
-
Ускорение потока
- Повышенное изменение давления (∆p) может ускорить поток
- Примеры: повышение давления в пакете с жидкостью, сжатие пакета, подвешивание пакета выше
-
Вязкие жидкости
- Вязкие жидкости текут медленнее
- Пример: переливание крови
-
Дополнительные ресурсы
- Поток Куэтта
- Закон Дарси
- Пульс
- Волна
- Гидравлический контур
- Закон Пуазейля для степенной неньютоновской жидкости
- Закон Пуазейля в слегка сужающейся трубке
- Калькулятор уравнений Хагена–Пуазейля