Friedmann equations
-
История и предпосылки
- Уравнения Фридмана были выведены Александром Фридманом в 1922 году.
- Уравнения основаны на предположении о пространственной однородности и изотропности Вселенной.
- Уравнения описывают расширение Вселенной в рамках общей теории относительности.
-
Основные уравнения
- Первое уравнение: a˙2 + kc2a2 = 8πGρ + Λc2/3.
- Второе уравнение: a¨a = −4πG(ρ + 3pc2) + Λc2/3.
- a — масштабный фактор, G, Λ и c — универсальные константы.
- ρ и p — плотность массы и давление соответственно.
- k — постоянная пространственной кривизны.
-
Геометрия Вселенной
- k = +1: Вселенная замкнута, радиус кривизны a.
- k = 0: Вселенная плоская, a фиксировано.
- k = −1: Вселенная открыта, радиус кривизны i · a.
-
Конservation и упрощение
- Второе уравнение можно переписать как ρ˙ = −3H(ρ + pc2).
- Уравнения упрощаются заменой ρ → ρ − Λc2/8πG, p → p + Λc4/8πG.
- Hubble параметр H = ȧ/a.
-
Плотность и геометрия
- Плотность параметра Ω = ρ/ρc.
- Критическая плотность ρc = 5 атомов водорода на кубический метр.
- Темная материя и темная энергия вносят значительный вклад в плотность Вселенной.
- Темная энергия не приводит к сжатию Вселенной, а может ускорять её расширение.
-
Критическая плотность и параметр плотности
- Критическая плотность определяется как ρc = 3H2/8πG.
- Параметр плотности Ω = ρ/ρc = 8πGρ/3H2.
- Ω используется для сравнения различных космологических моделей.
-
Пространственная геометрия Вселенной
- Если Ω больше единицы, пространство замкнуто и Вселенная коллапсирует.
- Если Ω меньше единицы, пространство открыто и Вселенная расширяется вечно.
- В ΛCDM модели важны компоненты Ω из-за барионов, холодной темной материи и темной энергии.
-
Решения для Friedmann уравнений
- Решения для Friedmann уравнений можно найти для идеальной жидкости с уравнением состояния p = wρc2.
- В случае плоской Вселенной (k = 0) решение для масштабного фактора a(t) = a0t2/3(w+1).
- Для материи-доминированной Вселенной (w = 0) a(t) ∝ t2/3.
- Для радиации-доминированной Вселенной (w = 1/3) a(t) ∝ t1/2.
-
Смешанные системы
- Если материя состоит из нескольких не взаимодействующих жидкостей, плотность каждой жидкости пропорциональна a-3(1+wf).
- Можно составить линейную комбинацию таких терминов для получения общей плотности.
-
Детальное решение
- Решения для зависимости масштабного фактора от времени можно найти, используя первое уравнение Фридмана.
- Для материи-доминированных вселенных a(t) ∝ t2/3.
- Для радиационно-доминированных вселенных a(t) ∝ t1/2.
-
Уравнения Фридмана для вселенных с преобладанием Λ
- Для вселенных с преобладанием Λ, где Ω0,Λ ∈ Ω0,R и Ω0,M, а также Ω0,Λ ∈ 1, границы интегрирования изменяются с ti на t и ai на a.
- Решение для вселенной с преобладанием Λ представляет особый интерес, так как вторая производная по времени положительна и отлична от нуля, что подразумевает ускоряющееся расширение Вселенной.
-
Ускоряющееся расширение Вселенной
- Ускорение Вселенной связано с тем, что вторая производная по времени положительна и отлична от нуля.
- Это делает ρΛ кандидатом на темную энергию.
-
Уравнение для вселенной с преобладанием Λ
- a(t) = aexp((t-ti)H0/√Ω0,Λ)
- d2a(t)/dt2 = aH02Ω0,Λexp((t-ti)H0/√Ω0,Λ)
-
Использование уравнений Фридмана в массовой культуре
- Студенты Университета Цинхуа использовали уравнения Фридмана в протестах против COVID-19 в 2022 году.
- Некоторые интерпретировали это как обыгрывание слов «Свободный человек».
- Другие интерпретировали это как призыв к «открытости» Китая и прекращению политики нулевого распространения Covid.