Векторные поля на сферах
-
Классическая проблема в дифференциальной топологии
- Обсуждение векторных полей на сферах является классической проблемой в дифференциальной топологии.
- Вопрос касается числа линейно независимых гладких векторных полей на сфере в
- n
- мерном евклидовом пространстве.
-
Открытие Фрэнка Адамса
- Адамс в 1962 году доказал, что существует
- ρ
- (
- )
- −
- 1
- {\displaystyle \rho (n)-1}
- линейно независимых векторных полей.
- Он использовал теорию гомотопий и топологическую K-теорию для доказательства невозможности существования большего числа независимых полей.
-
Технические детали
- Вопрос касается «круглых сфер» и их касательных расслоений.
- Числа Радона-Гурвица
- {\displaystyle \rho (n)}
- определяют максимальное число линейно независимых сечений касательного расслоения гомотопической сферы.
- Для нечетных
- {\displaystyle n}
- теорема об индексе Пуанкаре-Хопфа дает точное значение
-
Построение полей
- Построение полей связано с использованием реальных алгебр Клиффорда.
- Процесс Грама-Шмидта позволяет получить поточечную линейную независимость полей, дающих ортонормированный базис в каждой точке.
-
Числа Радона-Гурвица в других областях
- Числа Радона-Гурвица встречаются в теории матриц и квадратичных форм.
- Они играют важную роль в теории кодирования и теоретической физике.
-
Рекомендации
- Статья предлагает читателям ознакомиться с более подробными результатами и приложениями чисел Радона-Гурвица.
Полный текст статьи: