Оглавление [Скрыть]
- 1 Векторный пучок
- 1.1 Определение векторного расслоения
- 1.2 Локальная тривиализация
- 1.3 Ранг векторного расслоения
- 1.4 Переходные функции
- 1.5 Подгруппы и морфизмы
- 1.6 Секции и локально свободные пучки
- 1.7 Векторные расслоения и их эквивалентность
- 1.8 Операции с векторными расслоениями
- 1.9 Дополнительные структуры и обобщения
- 1.10 Гладкие векторные пучки
- 1.11 К-теория
- 1.12 Классификация пространств для векторных расслоений
- 1.13 Топология и дифференциальная геометрия
- 1.14 Алгебраическая и аналитическая геометрия
- 1.15 Записи и источники
- 1.16 Полный текст статьи:
- 2 Векторный расслоение
Векторный пучок
-
Определение векторного расслоения
- Векторное расслоение связывает векторное пространство с каждой точкой топологического пространства X.
- Простейший пример: тривиальное расслоение, где V(x) = V для всех x в X.
- Касательные расслоения гладких многообразий не являются тривиальными.
-
Локальная тривиализация
- Векторное расслоение локально тривиально, если существует открытое соседство U и гомеоморфизм φ, такие что π(φ(x, v)) = x для всех x в U и v в Rk.
- Локальная тривиализация показывает, что π “выглядит как” проекция U × Rk на U.
-
Ранг векторного расслоения
- Ранг векторного расслоения k определяется как постоянная размерность kx для всех x в X.
- Векторные расслоения ранга 1 называются линейными, ранга 2 — плоскими.
-
Переходные функции
- Переходные функции определяют коцикл Чеха, который задает структурную группу GL(k).
- Набор переходных функций образует коцикл Чеха, удовлетворяющий определенным условиям.
-
Подгруппы и морфизмы
- Подгруппы векторного расслоения — это подпространства, которые также являются векторными расслоениями.
- Морфизмы векторных расслоений определяются как пары непрерывных отображений, покрывающих друг друга.
- Изоморфизмы векторных расслоений называются тривиализациями.
-
Секции и локально свободные пучки
- Сечения векторного расслоения на открытом подмножестве U — это непрерывные функции, присваивающие каждой точке U вектор из присоединенного векторного пространства.
- Множество всех сечений на U образует векторное пространство, которое является модулем над кольцом непрерывных вещественнозначных функций на U.
- Локально свободные пучки — это пучки OX-модулей, возникающие из векторных расслоений.
-
Векторные расслоения и их эквивалентность
- Векторные расслоения эквивалентны локально свободным и конечно порожденным пучкам OX-модулей.
- Векторное расслоение ранга n тривиально, если оно имеет n линейно независимых глобальных сечений.
-
Операции с векторными расслоениями
- Сумма Уитни и тензорное произведение определяются послойно.
- Hom-расслоение Hom (E, F) представляет собой пространство линейных отображений от Ex до Fx.
- Двойственное векторное расслоение E* является Hom-расслоением Hom (E, R × X).
-
Дополнительные структуры и обобщения
- Векторные расслоения могут быть снабжены метрикой и комплексной структурой.
- Банахово расслоение требует, чтобы локальные тривиализации были изоморфизмами Банахова пространства.
- Cp-расслоения требуют, чтобы отображения были Cp.
-
Гладкие векторные пучки
- Гладкое векторное расслоение (E, p, M) допускает функции перехода, которые являются гладкими.
- Касательное расслоение (TM, nTM, M) является важным примером C∞-векторного расслоения.
- Каноническое векторное поле Vv полностью характеризует структуру гладкого векторного расслоения.
-
К-теория
- Группа K-теории компактного хаусдорфова топологического пространства определяется как абелева группа классов изоморфизма комплексных векторных расслоений.
- КО-теория рассматривает реальные векторные расслоения.
- K-теория изоморфна теории S2X, двойной подвеске X.
-
Классификация пространств для векторных расслоений
- Проективные пространства для линейных расслоений
- Класс характеристик
- Принцип расщепления
- Стабильный пучок
-
Топология и дифференциальная геометрия
- Связь: понятие для дифференцирования сечений векторных расслоений
- Калибровочная теория: изучение связей на векторных расслоениях и их связи с физикой
-
Алгебраическая и аналитическая геометрия
- Алгебраическое векторное расслоение
- Группа Пикара
- Голоморфное векторное расслоение
-
Записи и источники
- Ссылки на внешние ресурсы
- Примеры использования векторных расслоений в математике