Оглавление [Скрыть]
- 1 Вспомогательное нормированное пространство
- 1.1 Методы построения нормированных пространств из дисков
- 1.2 Полунормированные пространства, индуцированные диском
- 1.3 Топология полунормированных пространств
- 1.4 Карта включения
- 1.5 Банаховы диски
- 1.6 Свойства полунормированных пространств
- 1.7 Взаимосвязь между дисковыми пространствами
- 1.8 Диск как замкнутый единичный шар
- 1.9 Банаховы диски
- 1.10 Доказательство теоремы
- 1.11 Следствия из теоремы
- 1.12 Свойства банаховых дисков
- 1.13 Индуцированный радиальный дисковый коэффициент
- 1.14 Канонические карты
- 1.15 Индуцируемый ограниченным радиальным диском
- 1.16 Двойственность
- 1.17 Связанные понятия
- 1.18 Дополнительные понятия
- 1.19 Полный текст статьи:
- 2 Вспомогательное нормированное пространство
Вспомогательное нормированное пространство
-
Методы построения нормированных пространств из дисков
- Гротендик использовал два метода для определения ядерных операторов и пространств.
- Один метод использует ограниченный диск, другой — поглощающий.
- Если диск одновременно ограничен и поглощает, два пространства канонически изоморфны.
-
Полунормированные пространства, индуцированные диском
- Для любого подмножества D от X определяется функционал Минковского pD.
- Если pD является полунормой, пространство (промежуток D, pD) называется полунормированным пространством, индуцированным D.
- Если pD является нормой, пространство называется нормированным пространством, индуцированным D.
-
Топология полунормированных пространств
- Полунормированные пространства наделены полунормальной топологией, индуцированной pD.
- Топология полностью основана на наборе D и алгебраической структуре X.
-
Карта включения
- Карта включения BD: XD → X называется канонической картой.
- Если D — диск, то промежуток D = ⋃n=1∞nD, где nD — линейные размахи D.
-
Банаховы диски
- Ограниченный диск D в топологическом векторном пространстве X называется банаховым диском, если (промежуток D, pD) — банахово пространство.
- Банаховы диски не зависят от конкретной топологии TVS X.
-
Свойства полунормированных пространств
- Ограниченные диски: карта включения BD непрерывна тогда и только тогда, когда D ограничен.
- Хаусдорфизм: пространство (промежуток D, pD) является Хаусдорфом тогда и только тогда, когда pD — норма.
- Конвергенция сетей: x∙ → 0 в XD тогда и только тогда, когда существует сеть r∙, такая что r∙ → 0 и xi ∈ riD для всех i.
-
Взаимосвязь между дисковыми пространствами
- Если C ⊆ D ⊆ X, то промежуток C ⊆ промежуток D и pD ≤ pC на промежутке C.
- Топология подпространства, наследуемая от (промежуток C, pC), слабее, чем (промежуток D, pD).
-
Диск как замкнутый единичный шар
- Диск D является замкнутым подмножеством (промежуток D, pD) тогда и только тогда, когда D — замкнутый единичный шар полунормы pD.
- Если D — диск в векторном пространстве X и существует топология TVS τ на промежутке D, такая что D — замкнутое и ограниченное подмножество (промежуток D, τ), то D — замкнутый единичный шар из (промежуток D, pD).
-
Банаховы диски
- Банаховы диски — это ограниченные последовательно завершенные подмножества векторных пространств.
- Теорема утверждает, что если D является банаховым диском в TVS, то (X, p) является банаховым пространством.
-
Доказательство теоремы
- D является ограниченным подмножеством системы Хаусдорфа, что делает p нормой.
- Последовательность Коши в (X, p) сходится в (X, τ), где τ — нормальная топология, индуцированная p.
- Последовательность сходится в (X, τ) к элементу x, что доказывает, что (X, p) является завершенным.
-
Следствия из теоремы
- Последовательно завершенный ограниченный диск в системе Хаусдорфа является банаховым диском.
- Любой полный и ограниченный диск в системе Хаусдорфа является банаховым диском.
- Замкнутый единичный шар в пространстве Фреше является банаховым диском.
-
Свойства банаховых дисков
- Если D — банахов диск в Хаусдорфовом локально выпуклом пространстве, то T поглощает D.
- Выпуклая сбалансированная замкнутая окрестность начала координат в X индуцирует топологию на X, которая может быть завершена до банахова пространства.
- Для каждого ограниченного подмножества B в метризуемом локально выпуклом TVS существует ограниченный диск D, такой что B ⊆ XD.
-
Индуцированный радиальный дисковый коэффициент
- Выпуклый сбалансированный радиальный набор V индуцирует локально выпуклую топологию τV на X.
- Топология τV задается функционалом Минковского pV, который является полунормой.
- Топология τV является Хаусдорфом тогда и только тогда, когда pV является нормой.
- Нормированное пространство (X/pV-1(0), ‖⋅‖) обозначается XV, а его завершение — XV¯.
- Если V ограничен, то pV является нормой, и XV является векторным пространством X.
- Факторная топология τQ на X/pV-1(0) тоньше, чем исходная топология X.
-
Канонические карты
- Каноническая карта — это частное отображение, непрерывное при определенных условиях.
- Если U и V — радиальные диски, то существует непрерывное линейное сюръективное каноническое отображение.
- Каноническая карта имеет норму ≤ 1 и уникальное непрерывное линейное каноническое расширение.
-
Индуцируемый ограниченным радиальным диском
- Если S — ограниченный радиальный диск, то можно создать вспомогательное нормированное пространство XD.
- Если S — радиальный диск, то можно создать вспомогательное полунормированное пространство X/pV-1(0).
- В обоих случаях получается одно и то же нормированное пространство.
-
Двойственность
- Если H — слабо замкнутый равнопрерывный диск в X’, то непрерывный линейный функционал f принадлежит XH’ тогда и только тогда, когда f принадлежит двойственному пространству (X, pU).
-
Связанные понятия
- Диск в TVS называется инфраядным, если он поглощает все банаховы диски.
- Линейное отображение между двумя TVS называется инфраограниченным, если оно отображает банаховы диски на ограниченные диски.
- Последовательность x∙ быстро сходится к точке x, если существует банахов диск D, такой что x и x∙ содержатся в промежутке D и x∙ → x в (XD, pD).
-
Дополнительные понятия
- Борнологическое пространство — пространство, в котором ограниченные операторы непрерывны.
- Инъективное тензорное произведение — тензорное произведение, определенное на двух топологических векторных пространствах.
- Локально выпуклое топологическое векторное пространство — векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
- Ядерный оператор — линейный оператор, связанный с топологическими векторными пространствами.
- Ядерное пространство — обобщение конечномерных евклидовых пространств, отличных от гильбертовых пространств.
- Начальная топология — самая грубая топология, делающая определенные функции непрерывными.
- Проективное тензорное произведение — тензорное произведение, определенное на двух топологических векторных пространствах.
- Топологическое векторное пространство Шварца — топологическое векторное пространство, окрестности начала координат которого обладают свойством, аналогичным определению полностью ограниченных подмножеств.
- Тензорное произведение гильбертовых пространств — тензорное произведение пространств, наделенное специальным внутренним произведением.
- Топологическое тензорное произведение — конструкции тензорных произведений для топологических векторных пространств.
- Ультраборнологическое пространство — обобщение борнологических пространств.