Введение в математику общей теории относительности

• Основы общей теории относительности

  • Общая теория относительности (ОТО) — это теория гравитации, разработанная Альбертом Эйнштейном в 1915 году. 
  • ОТО описывает гравитацию как искривление пространства-времени, вызванное массой и энергией. 
  • Теория включает в себя специальную теорию относительности (СТО) как частный случай для малых скоростей и слабых гравитационных полей. 

• Пространство-время и геометрия

  • Пространство-время — это четырехмерное многообразие, которое включает в себя время и пространство. 
  • Пространство-время описывается геометрией, которая включает в себя метрику, кривизну и тензоры. 
  • В ОТО пространство-время является искривленным, что приводит к изменению законов движения и гравитации. 

• Кривизна пространства-времени

  • Кривизна пространства-времени измеряется с помощью тензора кривизны Римана. 
  • Тензор кривизны Римана описывает, насколько искривлено пространство-время в данной области. 
  • Тензор Эйнштейна G связывает кривизну с плотностью энергии и импульса. 

• Геодезические и параллельный перенос

  • Геодезические — это прямые линии в искривленном пространстве-времени, которые являются «чистым движением» без внешних воздействий. 
  • Параллельный перенос вектора вдоль кривой γ определяется как функция, удовлетворяющая условию ковариантной производной равной нулю. 

• Символы Кристоффеля и тензор Риччи

  • Символы Кристоффеля используются для описания ковариантной производной и играют ключевую роль в ОТО. 
  • Тензор Риччи является производным от тензора кривизны Римана и используется для вычисления кривизны пространства. 

• Тензор энергии-напряжения и уравнения Эйнштейна

  • Тензор энергии-напряжения описывает плотность и поток энергии и импульса в пространстве-времени. 
  • Уравнения Эйнштейна связывают кривизну пространства-времени с плотностью энергии и импульса. 

• Решение Шварцшильда и черные дыры

  • Решение Шварцшильда описывает гравитационное поле вне сферической массы и является полезным приближением для астрономических объектов. 
  • Черная дыра Шварцшильда — это черная дыра без заряда и углового момента, которая описывается метрикой Шварцшильда.