Закон взаимности
-
Определение и история закона взаимности
- Закон взаимности обобщает квадратичную взаимность на произвольные многочлены с целыми коэффициентами.
- Квадратичная взаимность определяет, когда многочлен разлагается на линейные множители при уменьшении по модулю простого числа.
- Ранние законы взаимности выражались через символ остатка, обобщающий квадратичную взаимность.
- Гильберт переформулировал законы взаимности через произведение символов вычета нормы Гильберта.
- Артин переформулировал законы взаимности как утверждение о тривиальности символа Артина для определенной подгруппы.
-
Различные формы и обобщения закона взаимности
- Существуют более поздние обобщения, использующие когомологии групп и представления адельных групп.
- Название «Закон взаимности» ввел Лежандр, описывая возвратно-поступательное поведение простых чисел.
- Существуют различные законы взаимности, включая кубическую, четвертую, восьмиугольную взаимность и взаимность Эйзенштейна.
- Закон взаимности Гильберта эквивалентен квадратичной взаимности для рациональных чисел.
- Закон взаимности Артина позволяет легко вывести все ранее открытые законы взаимности.
- Хассе ввел местный аналог закона взаимности Артина.
-
Явные законы взаимности и их приложения
- Явные законы взаимности дают конкретные формулы для значений символов Гильберта при определенных условиях.
- Закон степенной взаимности является аналогом квадратичной взаимности в терминах символов Гильберта.
- Существуют законы рациональной взаимности, выраженные через рациональные целые числа без использования корней из единицы.
- Закон взаимности Ямамото относится к номерам классов полей квадратичных чисел.
Полный текст статьи: