Закрытый коллектор

• Определение многообразия

  • Многообразие — топологическое пространство, локально гомеоморфное евклидову пространству. 
  • Включает в себя связные и несвязные подмножества, но не включает в себя границы. 

• Примеры многообразий

  • Простейшие примеры: сфера, тор, бутылка Клейна, проективная плоскость. 
  • Более сложные примеры: поверхности, трехмерные многообразия, четырехмерные многообразия. 

• Группы гомологий

  • Группа гомологий Hn(M;Z) является Z или 0 в зависимости от ориентируемости M. 
  • Подгруппа кручения Hn-1(M;Z) равна 0 или Z2 в зависимости от ориентируемости M. 

• Двойственность Пуанкаре

  • Для коммутативного кольца R существует изоморфизм между Hk(M;R) и Hn-k(M;R) для всех k. 
  • Это позволяет рассматривать замкнутые многообразия как Z2-ориентируемые. 

• Открытые и замкнутые многообразия

  • Открытое многообразие — это некомпактное и без границ, в отличие от замкнутого многообразия. 
  • Некоторые объекты, такие как диск, могут быть замкнутыми многообразиями, но не открытыми. 

• Использование в физике

  • Понятие «замкнутая вселенная» может относиться к вселенной с постоянной положительной кривизной Риччи. 

• Рекомендации

  • Для более глубокого изучения дифференциальной геометрии рекомендуется книга Майкла Спивака.