Коммутативное кольцо

• Основы коммутативной алгебры

  • Коммутативные кольца — это ассоциативные кольца с единицей. 
  • Кольца могут быть определены как множества с операциями сложения и умножения. 
  • Кольца с единицей называются унитарными кольцами. 

• Примеры и свойства

  • Кольцо целых чисел Z является примером коммутативного кольца. 
  • Кольцо многочленов k[X1, …, Xn] является примером коммутативного кольца с n переменными. 
  • Кольцо матриц M(n, m) является примером коммутативного кольца с двумя параметрами. 
  • Кольцо многочленов от одной переменной k[X] является примером коммутативного кольца без единицы. 

• Спектр кольца

  • Спектр кольца R — это множество простых идеалов. 
  • Спектр обладает топологией Зариски и связан с геометрическими свойствами кольца. 
  • Спектр имеет важное значение для изучения коммутативных колец и алгебраической геометрии. 

• Размерность кольца

  • Размерность кольца R измеряется числом независимых элементов. 
  • Размерность является локальным свойством и не зависит от нильпотентных элементов. 
  • Размерность остается постоянной при конечных расширениях и калибруется по размерности поля. 

• Кольцевые гомоморфизмы

  • Кольцевой гомоморфизм — это отображение, сохраняющее структуру кольца. 
  • Изоморфизм — это биективный кольцевой гомоморфизм. 
  • Кольцо Z имеет уникальный кольцевой гомоморфизм в любое коммутативное кольцо. 

• Конечное порождение и локальные кольца

  • R-алгебра S называется конечно порожденной, если она может быть представлена как многочлен от конечного числа элементов. 
  • Локальное кольцо — это кольцо с одним максимальным идеалом. 
  • Локализация кольца отражает геометрические свойства его спектра. 

• Регулярные локальные кольца

  • Регулярное локальное кольцо — это локальное кольцо, в котором кокасательное пространство имеет размерность, равную размерности его спектра. 
  • Нетерово локальное кольцо является регулярным, если его кольцо функций на касательном конусе также регулярно. 

• Дискретные оценочные кольца

  • Дискретные оценочные кольца — это одномерные регулярные локальные кольца с дискретной оценкой. 
  • Кольцо ростков голоморфных функций на римановой поверхности является примером дискретного оценочного кольца. 

• Полные пересечения и кольца Коэна-Маколея

  • Полное кольцо пересечений — это кольцо, размерность которого равна его рангу минус размерность его спектра. 
  • Кольцо Коэна-Маколея — это локальное кольцо с равенством в главной идеальной теореме Крулля. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.