Элемент управления
-
Определение и роль ur-элементов в теории множеств
- Ur-элемент — это объект, не являющийся множеством, но который может быть элементом множества.
- Ur-элементы также не идентичны пустому набору.
-
Эквивалентные способы рассмотрения элементов
- В теории первого порядка используются множества и элементарные элементы, где a ∈ b определяется только если b — множество.
- В односортированной теории используется унарный отношение для различения множеств и элементарных единиц.
-
Аналогия с теориями множеств и классов
- Ur-элементы подобны правильным классам, так как они не могут иметь членов, но не являются членами.
- Ur-элементы — это минимальные объекты, а соответствующие классы — максимальные объекты по отношению принадлежности.
-
История и аксиоматизация теории множеств
- Теория множеств Цермело 1908 года включала ur-элементы, но в современных аксиоматических теориях они не нужны.
- Аксиоматизации, использующие ur-элементы, включают теорию множеств Крипке-Платека и вариант теории множеств Фон Неймана-Бернейса-Геделя.
- Добавление ur-элементов в систему New Foundations привело к неожиданным последствиям, включая доказательство непротиворечивости NFU относительно арифметики Пеано.
-
Альтернативный подход к ur-элементам
- Атомы Куайна — это множества, содержащие только самих себя, и они могут существовать в теориях множеств без аксиомы регулярности.
- Теория множеств ZF с удаленной аксиомой регулярности совместима с существованием атомов Куайна, но не может доказать их существование.
-
Рекомендации
- Ссылки на внешние источники для дополнительной информации.