Симметричное произведение (топология)
-
Определение и свойства симметричного произведения
- Симметричное произведение — это конструкция, которая позволяет объединить два множества в одно, сохраняя их структуру.
- Оно используется для изучения гомотопических групп и гомологий в алгебраической топологии.
-
Применение в гомологии и гомотопии
- Симметричное произведение позволяет выразить гомологии через гомотопии, что полезно в алгебраической геометрии.
- Оно также используется для изучения гомотопических групп, в частности, для доказательства теоремы Дольда-Тома.
-
Симплициальная и непрерывная структуры
- SP (X) наследует симплициальную структуру от X, если X является симплициальным комплексом.
- Оно также может быть снабжено структурой непрерывного комплекса, сохраняя компактные множества.
-
Гомотопия и гомология
- Группы гомологий симметричного произведения определяются группами гомологий самого комплекса.
- Для симплициальных множеств и непрерывных комплексов группы гомологий симметричного произведения связаны с группами гомологий исходных множеств.
-
Связанные конструкции и обобщения
- S. Ляо представил Γ-произведения для подгруппы Γ симметричной группы Sn.
- Дольд и Том определили Z[X] как фактор-группу SP (X) и показали, что она обладает свойствами, аналогичными SP.
- Маккорд предложил обобщение SP (X) и Z[X] в виде B (G, X), где G — моноид.
- B (G, X) является функтором в категории абелевых топологических моноидов и точечных непрерывных комплексов.
-
Обобщение теоремы Дольда-Тома
- Теорема Дольда-Тома может быть обобщена на дискретные модули над коммутативными кольцами с единицей.
- B (G, S1) является классифицирующим пространством для топологических групп, если включение {1} → G является совместным.