Алгебраический цикл
-
Определение алгебраических циклов
- Алгебраический цикл — это формальная линейная комбинация подмногообразий алгебраического многообразия.
- Циклы доступны для изучения алгебраическими методами и могут дать представление о структуре многообразия.
-
Примеры и свойства
- Циклы нулевой коразмерности — это линейные комбинации неприводимых компонент многообразия.
- Дивизоры на алгебраических кривых являются формальными линейными комбинациями точек на кривой.
- Циклы на многомерных многообразиях отличаются от делителей и имеют более сложную структуру.
-
Теорема Мамфорда и её обобщения
- Мамфорд доказал, что группа когомологий не всегда чисто алгебраическая, что связано с трансцендентной информацией.
- Теорема Мамфорда была обобщена и имеет важные последствия для современной математики.
-
Гипотезы Ходжа и Тейта
- Гипотеза Ходжа предсказывает существование определенных алгебраических циклов в зависимости от топологии многообразия.
- Гипотеза Тейта аналогична, но касается высотных когомологий.
-
Роль в теории мотивов и K-теории
- Циклы связаны с алгебраической K-теорией через формулу Блоха.
- Стандартные предположения Александра Гротендика о циклах играют ключевую роль в теории когомологий.
-
Алгебраические циклы и их эквивалентности
- Циклы рационально эквивалентны нулю, если они могут быть представлены в виде суммы делителей рациональных функций.
- Существуют различные варианты определения и эквивалентности циклов, включая алгебраическую, гомологическую и численную эквивалентности.
-
Функториальность и ковариантность
- Существуют ковариантные и контравариантные функториальности группы алгебраических циклов.
- Эти функториальности позволяют изучать свойства циклов при отображении многообразий.