Закон повторяющегося логарифма
-
Закон повторяющегося логарифма
- Описывает величину флуктуаций случайного блуждания
- Первоначальная формулировка принадлежит А. Йа. Хинчину (1924)
- Другое заявление сделано А. N. Колмогоровым в 1929 году
-
Формулировки закона
- Пусть {Yn} — независимые, одинаково распределенные случайные величины с нулевым средним значением и единичной дисперсией
- Пусть Sn = Y1 + … + Yn
- Закон утверждает, что Sn/√2n log log n почти наверняка будет бесконечно часто превышать ε
-
Обсуждение
- Закон действует между законом больших чисел и центральной предельной теоремой
- Закон больших чисел утверждает, что суммы Sn, умноженные на n−1, сходятся к нулю с вероятностью и почти наверняка
- Центральная предельная теорема утверждает, что суммы Sn, умноженные на n−1/2, сходятся к стандартному нормальному распределению
-
Обобщения и варианты
- Хартман–Винтнер обобщил LIL на случайные блуждания с нулевым средним значением и конечной дисперсией
- Де Акоста дал простое доказательство версии LIL Хартмана–Винтнера
- Чанг доказал версию LIL для абсолютной величины броуновского движения
- Штрассен изучал LIL с точки зрения принципов инвариантности
- Стаут обобщил LIL на стационарные эргодические мартингалы
- Виттман обобщил версию LIL Хартмана–Винтнера на случайные блуждания с более мягкими условиями
- Вовк вывел версию LIL для одной хаотической последовательности
- Юнге Ван показал, что LIL справедлив для псевдослучайных последовательностей за полиномиальное время
- Балсубрамани доказал неасимптотический LIL для выборочных траекторий мартингейла за конечное время