Уравнения Навье–Стокса
-
Уравнения Навье–Стокса
- Дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие движение вязких жидкостей
- Названы в честь Клода-Луи Навье и Джорджа Габриэля Стокса
- Разрабатывались с 1822 по 1850 годы
- Используют закон сохранения массы и уравнение состояния
-
Основные свойства
- Учитывают вязкость, в отличие от уравнений Эйлера
- Параболические, обладают лучшими аналитическими свойствами
- Полезны для моделирования погоды, океанских течений и других явлений
-
Решение уравнений
- Скорость потока является решением
- Векторное поле, описывающее скорость жидкости в каждой точке
- Линии тока представляют пути, по которым могла бы перемещаться жидкая частица
-
Общие уравнения сплошной среды
- Уравнение импульса Навье–Стокса является частной формой уравнения Коши
- Уравнение Коши включает тензор напряжений, состоящий из вязкости и давления
- Уравнение непрерывности массы используется для сохранения массы
-
Конвективное ускорение
- Важная особенность уравнений сплошной среды
- Эффект ускорения потока относительно пространства
- Пример: ускорение жидкости в сопле
-
Сжимаемый поток
- Уравнение сжимаемого импульса Навье–Стокса следует из предположений о тензоре напряжений Коши
-
Напряжение и тензор скорости деформации
- Напряжение не зависит от скорости потока, а только от пространственных производных скорости.
- Тензор скорости деформации ε(∇u) = 1/2∇u + 1/2(∇u)^T.
- Отклоняющее напряжение линейно по ε: σ(ε) = -pI + C:ε.
-
Разложение тензора напряжений
- σ(ε) = -pI + λtr(ε)I + 2με.
- След тензора напряжений в трех измерениях: tr(σ) = -3p + (3λ + 2μ)∇⋅u.
-
Объемная вязкость и уравнение состояния
- Объемная вязкость ζ = λ + 2/3μ.
- Уравнение состояния: p = -1/3tr(σ) + ζ(∇⋅u).
-
Уравнения Навье-Стокса
- ρDu/Dt = -∇p + ∇⋅(μ[∇u + (∇u)^T — 2/3(∇⋅u)I]) + ∇[ζ(∇⋅u)] + ρa.
- В индексной записи: ρ(∂u_i/∂t + u_k∂u_i/∂xk) = -∂p/∂xk + ∂∂xk[μ(∂u_i/∂xk + ∂u_k/∂xi — 2/3δik∂u_l/∂xl)] + ∂∂xi(ζ∂u_l/∂xl) + ρa_i.
-
Гипотеза Стокса
- ζ = 0, механическое давление не эквивалентно термодинамическому давлению.
- Уравнения Навье-Стокса упрощаются: ρDu/Dt = -∇p + ∇⋅(μ[∇u + (∇u)^T — 2/3(∇⋅u)I]) + ρa.
-
Сжимаемое уравнение импульса Навье-Стокса
- Duu/Dt = -1/ρ∇p + ν∇^2u + (1/3ν + ξ)∇(∇⋅u) + a.
- ν = μ/ρ, ξ = ζ/ρ.
-
Уравнение импульса Навье-Стокса
- Левая часть уравнения изменяется в зависимости от формы сохранения
- Включает конвективное ускорение и диффузию
-
Несжимаемый поток
- Давление ограничивает поток, объем элементов жидкости остается постоянным
- Изохорический поток приводит к соленоидальному полю скоростей
-
Уравнение несжимаемого импульса Навье-Стокса
- Напряжение является галилеевым инвариантом
- Динамическая вязкость μ может зависеть от плотности и давления
-
Профиль скорости
- Профиль скорости зависит от давления и вязкости
- Уравнение Пуассона описывает поле давления
-
Уравнения конвекции-диффузии
- Уравнения Навье-Стокса включают конвекцию и диффузию
- Внешнее поле может быть сведено к одному члену
-
Фундаментальное уравнение гидравлики
- Уравнения Навье-Стокса с равномерными плотностью и вязкостью являются фундаментальными
- Частным случаем является уравнение Бернулли
-
Составное уравнение Навье-Стокса
- Уравнение состоит из двух ортогональных уравнений
- Первое уравнение определяет скорость без давления
- Второе уравнение связывает давление с уравнением Пуассона
-
Функциональная форма проекционного оператора
- Найдена из теоремы Гельмгольца
- Включает интеграл по объему и проекцию на соленоидальное и безвихревое пространства
-
Слабая форма уравнений Навье-Стокса
- Уравнение импульса: ρ∂u/∂t — μΔu + ρ(u⋅∇)u + ∇p = f
- Уравнение непрерывности: ∫Ωq∇⋅u = 0
- Пространства тестовых функций: V = [H01(Ω)]d, Q = L2(Ω)
-
Дискретная форма метода
- Подходит для конечно-элементного расчета потока без расхождений
- Позволяет формулировать задачи, управляемые давлением, с помощью управляющего уравнения без давления
-
Отсутствие сил давления
- Уравнение скорости является кинематическим, а не динамическим
- Условие отсутствия расхождений выполняет роль уравнения сохранения
-
Сильная форма уравнений Навье-Стокса
- Включает уравнения импульса, неразрывности и граничные условия
- Уравнение неразрывности: ∇⋅u = 0
- Граничные условия: u = g на ΓD, σ(u,p)n^ = h на ΓN, u(0) = u0
-
Уравнения Навье-Стокса
- Слабая формулировка уравнений Навье-Стокса: нахождение u ∈ L2(R+[H1(Ω)]d) ∩ C0(R+[L2(Ω)]d)
- Уравнения включают баланс импульса, сохранение массы и другие условия
-
Дискретная скорость
- Дискретная форма уравнений: (wi, ∂uj/∂t) = — (wi, (uj ⋅ ∇)uj) — ν(∇wi : ∇uj) + (wi, fS)
- Выбор базовых функций: элементы без расхождений, непрерывные конечные элементы Эрмита
-
Восстановление давления
- Дискретное слабое уравнение для градиента давления: (gi, ∇p) = — (gi, (uj ⋅ ∇)uj) — ν(∇gi : ∇uj) + (gi, fI)
- Использование скалярных конечных элементов для тестирования/взвешивания
-
Неинерциальная система отсчета
- Уравнение Навье-Стокса в неинерциальной системе отсчета: ρ(∂u/∂t + (uj ⋅ ∇)uj) = -∇p + ∇⋅{μ[∇u + (∇uj)T — 2/3(∇⋅uj)I]} + ∇[ζ(∇⋅uj)] + ρf — ρ[2Ω×u + Ω×(Ω×x) + dU/dt + dΩ/dt × x]
- Кориолисово ускорение, центробежное ускорение, линейное ускорение и угловое ускорение
-
Другие уравнения
- Уравнения Навье-Стокса описывают баланс импульса
- Для полного описания потока требуется дополнительная информация: граничные данные, сохранение массы, баланс энергии и уравнение состояния
-
Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости
- Уравнение неразрывности: ∂ρ/∂t + ∇⋅(ρu) = 0
- Для несжимаемой жидкости: ρ(∇⋅u) = 0, что сводится к (∇⋅u) = 0
-
Определение расхождения вектора скорости
- Расхождение вектора скорости равно нулю для несжимаемой жидкости.
- Поле скорости является соленоидальным векторным полем.
-
Расширение с помощью векторного оператора Лапласа
- Векторный оператор Лапласа используется для расширения соотношения.
- Завихренность выражается через векторное произведение.
-
Функция потока для несжимаемой двумерной жидкости
- Использование закручивания уравнения Навье-Стокса устраняет давление.
- Функция потока ψ определяет составляющие скорости.
- Уравнение для двумерного потока включает кинематическую вязкость.
-
Свойства уравнений Навье-Стокса
- Уравнения являются нелинейными и описывают турбулентность.
- Турбулентность возникает из-за инерции жидкости.
- Численное решение турбулентных течений сложно и требует мелкого разрешения сетки.
-
Применимость уравнений Навье-Стокса
- Уравнения точно моделируют движение жидкости в среднем.
- Жидкость должна быть непрерывной и не двигаться с релятивистскими скоростями.
- В экстремальных условиях могут потребоваться другие методы.
-
Применение к конкретным задачам
- Уравнения Навье-Стокса применимы к широкому спектру задач.
- Примеры включают параллельный и радиальный потоки.
- Параллельный поток легко решается, радиальный требует нелинейности.
-
Уравнение Навье-Стокса
- Уравнение описывает движение жидкости или газа.
- Включает градиент давления и нелинейные члены.
- Нелинейные члены делают задачу трудной для аналитического решения.
-
Конвекция Рэлея-Бенара
- Один из видов естественной конвекции.
- Описывается уравнением Навье-Стокса.
- Часто изучается из-за аналитической и экспериментальной доступности.
-
Точные решения уравнений Навье-Стокса
- Существуют точные решения для различных случаев.
- Примеры: течение Пуазейля, течение Куэтта, колебательный пограничный слой Стокса.
- Более сложные решения: поток Джеффри-Хэмела, закрученный поток Фон Кармана.
-
Стационарные решения
- Примеры: поток вдоль линий расслоения Хопфа, вихревое решение.
- Решения могут быть получены для различных значений вязкости и плотности.
-
Вязкие трехмерные периодические решения
- Описаны два примера периодических решений.
- Решения характеризуются положительной и отрицательной спиральностью.
- Поле давления получается из поля скоростей.
-
Диаграммы Вильда
- Бухгалтерские графики для описания турбулентных явлений.
- Используются для описания неравновесных процессов в гидродинамике.
-
Представления в 3D
- Используются однострочные обозначения частных производных.
- В статье 2022 года предлагается менее затратное решение уравнения Навье-Стокса.
-
Декартовы координаты
- Векторное уравнение Навье-Стокса записано в явном виде.
- Включает частные производные и градиенты давления.
-
Уравнения Навье-Стокса в декартовых координатах
- Уравнения описывают движение жидкости в декартовых координатах.
- Включают уравнения импульса и неразрывности.
- Уравнения нелинейные и трудно решаемые.
-
Цилиндрические координаты
- Уравнения в цилиндрических координатах используют преимущества симметрии.
- Включают уравнения импульса для r, φ и z.
- Уравнение неразрывности упрощается.
-
Сферические координаты
- Уравнения в сферических координатах учитывают полярные углы.
- Включают уравнения импульса для r, φ и θ.
- Уравнение неразрывности также упрощается.
-
Уравнения Навье–Стокса
- Уравнения описывают движение жидкости и газа в трехмерном пространстве.
- Включают уравнения для скорости, давления и плотности.
- Используются для моделирования различных природных явлений, таких как огонь и дым.
-
Массовая непрерывность
- Уравнение для сохранения массы жидкости.
- Включает производные по времени, радиусу и углу.
-
Использование в играх
- Уравнения Навье–Стокса широко применяются в видеоиграх.
- Моделирование газообразных сред основано на работах Джоса Стэма.
- Современные реализации работают на GPU, обеспечивая высокую производительность.
-
Улучшения и улучшения
- Предложены улучшения для снижения численной диссипации.
- Курс ACM SIGGRAPH 2007 года «Моделирование жидкости для компьютерной анимации» предоставляет введение в интерактивное моделирование жидкости.
-
Связанные темы
- Уравнения Больцмана, импульса Коши, тензор напряжений Коши.
- Теория Чепмена–Энскога, уравнение Черчилля–Бернштейна, эффект Коанды.
- Вычислительная гидродинамика, механика сплошной среды, уравнение конвекции–диффузии.
- Вывод уравнений Навье–Стокса, уравнение Эйнштейна–Стокса, уравнения Эйлера.
- Поток Хагена–Пуазейля, проблемы, связанные с премией тысячелетия, ньютоновская жидкость.
- Безразмерность и масштабирование уравнений Навье–Стокса, способ коррекции давления, примитивные уравнения.
- Конвекция Рэлея–Бенара, транспортная теорема Рейнольдса, уравнения Стокса, сверхзвуковой поток над плоской пластиной, уравнение Власова.