Двойственность Понтрягина

• Определение и свойства двойственности Понтрягина

  • Двойственность Понтрягина связывает двойную группу с исходной группой через изоморфизм. 
  • Двойная группа является группой гомоморфизмов от исходной группы к группе кругов. 
  • Двойственность Понтрягина позволяет определить преобразование Фурье для функций на исходной группе. 

• Применение двойственности Понтрягина

  • Преобразование Фурье позволяет анализировать периодические функции и ряды Фурье. 
  • Двойственность Понтрягина используется для доказательства компактности абелевых групп. 
  • Компактификация Бора определяется через двойственную группу и используется для характеристики компактных абелевых групп. 

• Категориальные аспекты двойственности Понтрягина

  • Двойственность Понтрягина может быть рассмотрена функционально, как функтор между категориями локально компактных абелевых групп. 
  • Естественное преобразование между функтором тождества и функтором двойной группы является изоморфизмом. 
  • Функтор двойной группы является эквивалентностью категорий между LCA и LCAop. 

• Обобщения двойственности Понтрягина

  • Существуют обобщения двойственности Понтрягина для коммутативных топологических групп, не являющихся локально компактными. 
  • Для некоммутативных топологических групп двойственность Понтрягина имеет совершенно другую структуру. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.