Двойственность Кошуля

• Основы двойственности Кошуля

  • Двойственность Кошуля — это вид двойственности, встречающийся в различных областях математики. 
  • Прототипный пример — соответствие BGG, связывающее производную категорию симметричной алгебры с внешней алгеброй. 
  • Важность двойственности Кошуля заключается в ее потенциальной распространенности. 

• Двойственность Кошуля для градуированных модулей

  • В одномерном векторном пространстве V над полем k внешняя алгебра V имеет две нетривиальные компоненты. 
  • Двойственность Кошуля связывает внешнюю алгебру V с симметричной алгеброй V∗. 
  • Когомологии комплекса, построенного на основе внешней алгебры, равны нулю в одной степени и k в другой. 

• Кошул, двойственный алгебре Кошуля

  • Алгебра Кошуля — это квадратичная алгебра, состоящая из тензорной алгебры и подмодуля. 
  • Двойственность Кошуля соответствует квадратичной двойственности, где R′ состоит из элементов, для которых отношения в A равны нулю. 
  • Кошульский дуал алгебры Кошуля — это внешняя алгебра на двойственном векторном пространстве. 

• Эквивалентности между производными категориями

  • Существуют эквивалентности между подкатегориями производных категорий градуированных A- и A! — модулей. 
  • Альтернативно, можно использовать коэффициенты гомотопических категорий для получения эквивалентностей. 

• Расширение двойственности Кошуля на D-модули

  • Двойственность Кошуля может быть расширена на производные категории dg-модулей над dg-алгебрами. 

• Двойственность Кошуля для операд

  • Гинзбург и Капранов ввели понятие квадратичной операды и определили квадратичную двойственность для таких операд. 
  • Ассоциативная операда самодвойственна, а коммутативная и операда Ли соответствуют друг другу. 
  • Двойственность Кошуля утверждает эквивалентность алгебр над двойственными операдами.