Алгебраическое замыкание — Википедия
Алгебраическое замыкание
-
Определение и свойства алгебраического замыкания
- Алгебраическое замыкание поля K — это алгебраическое расширение, которое алгебраически замкнуто.
- Каждое поле имеет уникальное алгебраическое замыкание с точностью до изоморфизма.
- Алгебраическое замыкание K является наибольшим алгебраически замкнутым полем, содержащим K.
- Если M — любое алгебраически замкнутое поле, содержащее K, элементы M, которые алгебраически над K, образуют алгебраическое замыкание K.
- Алгебраическое замыкание K имеет ту же мощность, что и K, если K бесконечно, и является счетно бесконечным, если K конечно.
-
Примеры алгебраических полей замыкания
- Алгебраическое замыкание поля действительных чисел — это поле комплексных чисел.
- Алгебраическое замыкание поля рациональных чисел — это поле алгебраических чисел.
- Внутри комплексных чисел существует множество счетных алгебраически замкнутых полей, строго содержащих поле алгебраических чисел.
- Для конечного поля простой степени q алгебраическое замыкание представляет собой счетное бесконечное поле, содержащее копию поля порядка qn для каждого натурального числа n.
-
Существование и структура алгебраических полей замыкания
- Для каждого многочлена fλ ∈ S можно ввести новые переменные uλ,1, …, uλ,d, где d = deg(fλ).
- Поле K1 = R/M обладает свойством, что каждый многочлен fλ с коэффициентами в K имеет все корни в K1.
- Объединение всех этих расширений является алгебраическим замыканием K.
- Для любого подмножества S из K[x] существует поле разбиения S на K.
-
Разделимое замыкание
- Разделимое замыкание Ksep из K содержит все (алгебраические) разделяемые расширения K в пределах Kalg.
- Ksep является уникальным (с точностью до изоморфизма) и полным алгебраическим замыканием тогда и только тогда, когда K — совершенное поле.
- В общем случае абсолютной группой Галуа K является группа Галуа Ksep над K.
Полный текст статьи:
Добавить комментарий
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.