Идеал (теория колец)
-
Определение и свойства идеалов
- Идеал — это подмножество элементов кольца, удовлетворяющее определенным условиям.
- Идеал является подкольцом, если он содержит единицу и является подмодулем, если он содержит нулевой элемент.
- Идеал является двусторонним, если он содержит как левые, так и правые идеалы.
-
Примеры идеалов
- Множество всех целых чисел является идеалом в кольце целых чисел.
- Идеал, порожденный наименьшим положительным элементом в кольце целых чисел, является основным.
- Множество многочленов, делящихся на многочлен, является идеалом в кольце многочленов.
- Матрица с нулевыми строками или столбцами является правильным идеалом в матричном кольце.
-
Идеальные соответствия и гомоморфизмы
- Сюръективный гомоморфизм колец порождает идеальное соответствие между левыми идеалами колец.
- Идеальное соответствие сохраняет порядок и биективно для простых идеалов.
- Идеальное частное от двух идеалов является идеалом.
-
Расширение и сжатие идеалов
- Предварительное изображение идеала является идеалом.
- Идеал может быть расширен или сжат при изменении кольца.
-
Идеалы в модулях
- Аннигилятор подмножества модуля является левым идеалом.
- Идеальное частное от идеалов является примером идеализатора в коммутативной алгебре.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.
Полный текст статьи: