Метка: Multilinear algebra
-
Тензорное поле — Википедия
Тензорное поле Определение тензора Тензор — это математический объект, который преобразуется по определенным правилам при изменении координат. Тензорное поле — это множество тензоров, которые преобразуются одинаково при изменении координат. Примеры тензорных полей Тензор кривизны в дифференциальной геометрии и тензор энергии-импульса в физике связаны общей теорией относительности. В электромагнетизме электрическое и магнитное поля объединяются в электромагнитное…
-
Многолинейное подпространственное обучение — Википедия
Многолинейное обучение в подпространстве Основы многолинейного изучения подпространства Многолинейное изучение подпространства используется для выявления причинно-следственных связей и уменьшения размерности данных. Тензоры данных могут быть векторизованы или объединены в матрицы, что позволяет выполнять многолинейные проекции. Алгоритмы многолинейного обучения Алгоритмы многолинейного обучения являются обобщениями традиционных методов уменьшения размерности, таких как PCA, ICA, LDA и CCA. Они могут…
-
Пфаффиан — Википедия
Пфаффиан Определение и свойства пфаффиана Пфаффиан — это многочлен, который равен определителю кососимметрической матрицы. Он обладает свойством инвариантности при правильном ортогональном преобразовании базиса. Пфаффиан является многочленом от суммы квадратов элементов матрицы. Теорема Пфаффиана Теорема утверждает, что пфаффиан матрицы равен произведению пфаффианов её диагональных миноров. Доказательство теоремы основано на свойствах определителя и детерминанта. Применение пфаффиана Пфаффиан…
-
Berezin integral — Wikipedia
Интеграл Березина Определение интеграла Березина Интеграл Березина — это обобщение интеграла Лебега, которое позволяет интегрировать функции на супермногообразиях. Он используется в квантовой теории поля для вычисления интегралов по траекториям. Свойства интеграла Березина Интеграл Березина является линейным и антикоммутативным. Он сохраняет четность и антисимметрию при преобразовании координат. Он обладает свойством суперпозиции, что позволяет интегрировать функции, зависящие…
-
Билинейная карта — Википедия
Билинейная карта Определение билинейной формы Билинейная форма — это отображение, которое принимает два вектора и возвращает скаляр. Билинейные формы могут быть определены для векторных пространств над произвольными полями. Примеры билинейных форм Примеры включают скалярное произведение векторов, определитель матрицы и интеграл от функции. Билинейные формы используются в линейной алгебре, дифференциальной геометрии и других областях. Свойства билинейных…
-
Обозначение Эйнштейна — Википедия
Обозначения Эйнштейна Основы нотации Эйнштейна Нотация Эйнштейна используется для упрощения записи тензорных произведений и матриц в физике. В нотации Эйнштейна индексы повторяются для обозначения суммирования по повторяющимся индексам. Индексы могут быть как числовыми, так и абстрактными, и их положение в выражении указывает на тип вектора или ковектора. Применение нотации Эйнштейна В нотации Эйнштейна каждый индекс…
-
Билинейная форма — Википедия
Билинейная форма Определение и свойства билинейных форм Билинейная форма — это отображение, которое принимает два вектора и возвращает скаляр. Билинейная форма может быть симметричной, кососимметричной или чередующейся. Билинейная форма симметрична, если она сохраняет порядок аргументов, и кососимметрична, если меняет порядок аргументов. Чередующаяся форма равна нулю на одинаковых векторах. Примеры билинейных форм Примеры включают скалярное произведение,…
-
Билинейная карта — Википедия
Билинейная карта Определение билинейной формы Билинейная форма — это отображение, которое принимает два вектора и возвращает скаляр. Билинейные формы могут быть определены для векторных пространств над произвольными полями. Примеры билинейных форм Примеры включают скалярное произведение векторов, определитель матрицы и интеграл от функции. Билинейные формы используются в линейной алгебре, дифференциальной геометрии и других областях. Свойства билинейных…
-
Тензорное поле — Википедия
Тензорное поле Определение тензора Тензор — это математический объект, который преобразуется по определенным правилам при изменении координат. Тензорное поле — это множество тензоров, которые преобразуются одинаково при изменении координат. Примеры тензорных полей Тензор кривизны в дифференциальной геометрии и тензор энергии-импульса в физике связаны общей теорией относительности. В электромагнетизме электрическое и магнитное поля объединяются в электромагнитное…
-
Многолинейная карта — Википедия
Многолинейная карта Определение многолинейной функции Многолинейная функция — это функция, которая принимает несколько аргументов и возвращает одно значение. Аргументы могут быть векторами или матрицами, а функция может быть определена как линейная комбинация этих аргументов. Примеры многолинейных функций Пример с векторами: функция, возвращающая сумму произведений элементов векторов. Пример с матрицами: функция, возвращающая определитель матрицы. Связь с…
-
Тензорное произведение модулей — Википедия
Тензорное произведение модулей Тензорное произведение модулей в математике позволяет рассуждать о билинейных отображениях в терминах линейных отображений. Построение модуля аналогично построению тензорного произведения векторных пространств. Тензорные произведения важны в различных областях математики, таких как алгебра, гомологическая алгебра, топология, геометрия и операторные алгебры. Универсальное свойство тензорного произведения векторных пространств распространяется на более общие ситуации в абстрактной…
-
Многолинейная форма — Википедия
Многолинейная форма Полилинейная форма в векторном пространстве — это карта, которая является линейной в каждом из своих аргументов. Многолинейный k-тензор на V над R — это (ковариантный) k-тензор, который обычно обозначается Tk(V) или Lk(V). Тензорное произведение — это продукт двух тензоров, который является билинейным и ассоциативным. Чередующиеся многолинейные формы — это класс полилинейных форм, обладающих…
-
Тройной продукт — Википедия
Тройной продукт Тройное произведение — произведение трех трехмерных векторов в геометрии и алгебре. Скалярное тройное произведение — скалярное произведение одного вектора на перекрестное произведение двух других. Геометрическая интерпретация скалярного тройного произведения — объем параллелепипеда, определяемого тремя заданными векторами. Скалярное тройное произведение остается неизменным при круговом сдвиге его трех операндов. Скалярное тройное произведение можно понимать как…
-
Внешняя алгебра — Википедия, свободная энциклопедия
Внешняя алгебра Внешняя алгебра — это ассоциативная алгебра, содержащая векторное пространство V и клиновидное произведение ∧. Внешняя алгебра названа в честь Германа Грассмана и названа так из-за внешнего вида произведения. Клиновидное произведение k векторов v1 ∧ v2 ∧ ⋯ ∧ vk называется лезвием степени k. Изначально внешняя алгебра использовалась для изучения площадей, объемов и их…
-
Мультивектор — Википедия
Многовекторный Мультивектор в полилинейной алгебре — элемент внешней алгебры Λ(V) векторного пространства V. Мультивектор состоит из линейных комбинаций простых k-векторов (k-лопастей). Мультивектор может быть k-вектором или любым элементом внешней алгебры. В дифференциальной геометрии мультивектор — вектор во внешней алгебре касательного векторного пространства. Дифференциальная k-форма — k-вектор во внешней алгебре двойственного касательного пространства. Мультивекторы имеют максимальную…
-
Дискретное внешнее исчисление — Википедия
Дискретное внешнее исчисление Дискретное внешнее исчисление (DEC) — расширение внешнего исчисления на дискретные пространства. DEC эффективно применяется в анализе методов конечных элементов. Неоднородные сетки позволяют использовать крупные элементы в простых областях и экономить вычислительную мощность. Дискретная внешняя производная определяется через теорему Стокса. В триангуляции/симплициальном комплексе определяются различные операторы и операции, включая дискретное произведение клина и…
-
Бивектор — Википедия, бесплатная энциклопедия
Бивектор Бивекторы являются векторными объектами с двумя компонентами, которые могут быть интерпретированы как плоскости или направленные сегменты плоскости. Геометрическая алгебра в трех измерениях имеет базис (1, e1, e2, e3, e23, e31, e12, e123), где e123 является тривектором и псевдоскаляром. Бивекторы не замкнуты относительно геометрического произведения, но четная подалгебра замкнута и изоморфна кватернионам. Вектор вращения основан…
-
Тройной продукт — Википедия
Тройной продукт Тройное произведение векторов является произведением трех векторов и имеет различные интерпретации. Оно связано с определителем матрицы произведения двух матриц 3×3 и полярным синусом. Скалярное тройное произведение дает объем параллелепипеда, но имеет знак, зависящий от ориентации рамки или четности перестановки векторов. Внешнее произведение двух векторов является бивектором, а внешнее произведение трех векторов — тривектором. …
-
Билинейная карта — Википедия
Билинейная карта Билинейная форма — это отображение между двумя векторными пространствами, которое является линейным по каждому аргументу. Билинейные формы играют важную роль в линейной алгебре и теории представлений. Непрерывность билинейных форм зависит от топологий, заданных в пространствах линейных отображений. Композиционная карта между пространствами линейных отображений может быть непрерывной в определенных топологиях. Существуют результаты, связанные с…
-
Билинейная карта — Википедия
Билинейная карта Билинейная форма — это отображение между двумя векторными пространствами, которое является линейным по каждому аргументу. Билинейные формы играют важную роль в линейной алгебре и теории представлений. Непрерывность билинейных форм зависит от топологий, заданных в пространствах линейных отображений. Композиционная карта между пространствами линейных отображений может быть непрерывной в определенных топологиях. Существуют результаты, связанные с…