Оглавление
Ω-непротиворечивая теория
-
Определение и свойства ω-непротиворечивости
- ω-непротиворечивость – это свойство теории, означающее, что она не содержит противоречий в ω-логике.
- Теория является ω-непротиворечивой, если она непротиворечива в ω-логике и не содержит противоречий, которые могут быть доказаны в ω-логике.
-
Связь с другими принципами согласованности
- ω-непротиворечивость тесно связана с ω-согласованностью, но не эквивалентна ей.
- Теория, непротиворечивая в ω-логике, также является ω-непротиворечивой и арифметически обоснованной.
- Если теория рекурсивно аксиоматизируема, то она ω-непротиворечива тогда и только тогда, когда она является Σ20-звуковой.
-
Примеры и теоремы
- Теория множеств Цермело-Френкеля является ω-непротиворечивой.
- Теория множеств Цермело-Френкеля с добавлением аксиомы выбора становится ω-непротиворечивой, но не является Σ20-звуковой.
- Теория множеств Цермело-Френкеля с добавлением аксиомы выбора и аксиомы континуума становится ω-непротиворечивой и Σ20-звуковой.
- Теория множеств Цермело-Френкеля с добавлением аксиомы выбора, аксиомы континуума и аксиомы бесконечности становится ω-непротиворечивой и Σ20-звуковой.
- Теорема Геделя о неполноте утверждает, что любая достаточно сильная теория, включая арифметику, является ω-непротиворечивой.
-
Связь с противоречиями и логикой
- Теория, содержащая противоречие, не является ω-непротиворечивой.
- ω-логика является более сильной логикой, чем классическая логика, и позволяет доказывать противоречивые утверждения.
- Теория, противоречивая в классической логике, может быть ω-непротиворечивой в ω-логике.
Полный текст статьи: