3-сфера

• Определение и свойства 3-сферы

  • 3-сфера — это трехмерное многообразие, которое является замкнутой поверхностью без края. 
  • Она имеет диаметр π и является односвязной, что означает, что она не имеет отверстий. 
  • 3-сфера является примером одноточечной компактификации евклидовой плоскости. 

• Топология и геометрия 3-сферы

  • 3-сфера имеет нетривиальную топологию, что означает, что ее нельзя описать с помощью одной системы координат. 
  • Существуют различные варианты гиперсферических координат, включая сферические и Хопфа, которые позволяют параметризовать 3-сферу. 
  • Стереографические координаты, полученные с помощью стереографической проекции, также являются удобным способом описания 3-сферы. 

• Структура группы

  • 3-сфера обладает структурой кватернионного умножения, что делает ее группой Ли. 
  • Она является единственной сферой, которая имеет структуру группы Ли, за исключением S1 и S0. 
  • Матричное представление кватернионов позволяет рассматривать 3-сферу как изоморфную специальной унитарной группе SU(2). 

• Исторический контекст и искусство

  • В литературе 3-сфера упоминается как надсфера или гиперсфера, а также упоминается в контексте «Божественной комедии» Данте и в книге «Искусство встречается с математикой в четвертом измерении».