Оглавление
3-сфера
-
Определение и свойства 3-сферы
- 3-сфера – это трехмерное многообразие, которое является замкнутой поверхностью без края.
- Она имеет диаметр π и является односвязной, что означает, что она не имеет отверстий.
- 3-сфера является примером одноточечной компактификации евклидовой плоскости.
-
Топология и геометрия 3-сферы
- 3-сфера имеет нетривиальную топологию, что означает, что ее нельзя описать с помощью одной системы координат.
- Существуют различные варианты гиперсферических координат, включая сферические и Хопфа, которые позволяют параметризовать 3-сферу.
- Стереографические координаты, полученные с помощью стереографической проекции, также являются удобным способом описания 3-сферы.
-
Структура группы
- 3-сфера обладает структурой кватернионного умножения, что делает ее группой Ли.
- Она является единственной сферой, которая имеет структуру группы Ли, за исключением S1 и S0.
- Матричное представление кватернионов позволяет рассматривать 3-сферу как изоморфную специальной унитарной группе SU(2).
-
Исторический контекст и искусство
- В литературе 3-сфера упоминается как надсфера или гиперсфера, а также упоминается в контексте “Божественной комедии” Данте и в книге “Искусство встречается с математикой в четвертом измерении”.
Полный текст статьи: