Оглавление
- 1 Абстрактный многогранник
- 1.1 Абстрактные многогранники
- 1.2 Традиционные и абстрактные многогранники
- 1.3 Лица, звания и порядок следования
- 1.4 Диаграмма Хассе
- 1.5 Ранг и флаги
- 1.6 Разделы и грани
- 1.7 Взаимосвязанность и формальное определение
- 1.8 Простейшие многогранники
- 1.9 Определение многогранников
- 1.10 Абстрактные многогранники
- 1.11 Двойственность и правильные многогранники
- 1.12 Реализация и пространство модулей
- 1.13 Проблема объединения и универсальные многогранники
- 1.14 Локальная топология
- 1.15 Классификация локально-тороидальных правильных многогранников
- 1.16 Карты обмена
- 1.17 Матрицы инцидентности
- 1.18 История
- 1.19 Полный текст статьи:
- 2 Абстрактный многогранник
Абстрактный многогранник
-
Абстрактные многогранники
- Алгебраическое частично упорядоченное множество, отражающее диадические свойства традиционных многогранников.
- Не указывают чисто геометрические свойства, такие как точки и линии.
- Позволяют создавать новые объекты, не имеющие аналогов в традиционной теории.
-
Традиционные и абстрактные многогранники
- Традиционные многогранники имеют измеримые свойства, такие как углы и длины ребер.
- Абстрактные многогранники не имеют таких свойств, но могут быть реализованы в реальном пространстве.
- Абстрактные многогранники могут быть правильными, но не обязательно.
-
Лица, звания и порядок следования
- Грани ранжируются по размеру: вершины имеют ранг 0, ребра – 1 и т.д.
- Падающие грани упорядочиваются соотношением F < G.
- Наименьшая грань имеет ранг -1 и обозначается как F−1.
- Наибольшая грань имеет ранг n и обозначается как Fn.
-
Диаграмма Хассе
- Визуализирует иерархию граней.
- Лица одинакового ранга располагаются на одном уровне.
- Изоморфные многогранники порождают изоморфные диаграммы Хассе.
-
Ранг и флаги
- Ранг грани определяется как (m − 2), где m – максимальное количество граней в цепочке.
- Флаг – это максимальная цепочка граней, каждая из которых является подповерхностью следующей.
- Все флаги содержат одинаковое количество граней.
-
Разделы и грани
- Сечение P – это множество {G | F ≤ G ≤ H}, где F и H – грани.
- Гранью для j-грани F является (j−1)-сечение F/∞.
- Вершинной фигурой в вершине V является (n−1)-сечение Fn/V.
-
Взаимосвязанность и формальное определение
- Множество P связно, если оно имеет ранг ≤ 1 или существует последовательность граней, соединяющих любые две грани.
- Позиция P прочно связана, если каждая часть P соединена.
- Абстрактный многогранник – это частично упорядоченное множество с аксиомами, включающими наличие наименьшего и величайшего лица, а также одинакового количества граней во всех флагах.
-
Простейшие многогранники
- Ранг < 1: нулевая грань и точка.
- Ранг 1: отрезок прямой.
- Ранг 2: полигоны, включая дигон и апейрогон.
-
Определение многогранников
- Многогранники определяются как множества граней и подповерхностей.
- Дигон определяется как множество {ø, a, b, E’, E”, G} с соотношением <.
- Многогранник атомистичен, если каждая грань имеет уникальный набор вершин.
-
Абстрактные многогранники
- Абстрактные многогранники включают апейротопы, правильные разложения и другие объекты.
- Хозоэдры и хозотопы обобщают дигон и могут быть реализованы как сферические многогранники.
- Проективные многогранники, такие как полукуб, полуоктаэдр и полудодекаэдр, могут быть реализованы как проективные многогранники.
-
Двойственность и правильные многогранники
- У каждого многогранника есть двойственный двойник.
- Абстрактный многогранник правилен, если его группа автоморфизмов действует транзитивно на множество флагов.
- Все многогранники ранга ≤ 2 являются правильными, включая пять платоновых тел и полукуб.
-
Реализация и пространство модулей
- Реализация абстрактного многогранника в евклидовом пространстве называется верной, если она не нарушает правил для традиционных многогранников.
- Пространство модулей реализаций абстрактного многогранника представляет собой выпуклый конус бесконечной размерности.
-
Проблема объединения и универсальные многогранники
- Проблема объединения включает поиск универсальных многогранников с определенными гранями и вершинными фигурами.
- 11-клеточный и 57-клеточный многогранники являются примерами универсальных многогранников с полуикосаэдрическими и полудодекаэдрическими гранями соответственно.
-
Локальная топология
- Исторически проблема объединения решалась в соответствии с местной топологией.
- Локально сферические многогранники соответствуют тесселяциям многообразий.
- Локально проективные многогранники, такие как 11-клеточный и 57-клеточный, являются примерами локально проективных многогранников ранга 4.
-
Классификация локально-тороидальных правильных многогранников
- Достигнут значительный прогресс в полной классификации локально-тороидальных правильных многогранников.
- Карты обмена позволяют менять пары флагов местами, что важно для классификации.
-
Карты обмена
- Карты обмена меняют пары флагов местами.
- φi2 является идентификационной картой.
- Φi генерирует группу, действующую на флаги многогранника.
- Если многогранник правильный, группа изоморфна группе автоморфизмов.
-
Матрицы инцидентности
- Многогранник можно представить с помощью таблицы совпадений.
- Матрица инцидентности показывает, где грань является подповерхностью другой.
- Квадратная пирамида Хассе позволяет сгруппировать симметрию.
-
История
- В 1960-х годах Бранко Грюнбаум предложил полистроматы.
- Х.С.М. Кокстер и Жак Титс заложили основу теории абстрактных многогранников.
- Эгон Шульте дал определение “комплексам правильного падения” и “многогранникам правильного падения”.
- Исследования сосредоточены на правильных многогранниках.