Оглавление
Аксиома зависимого выбора
-
Определение и свойства аксиомы зависимого выбора
- Аксиома зависимого выбора утверждает, что для каждого непустого множества и отношения на нем существует бесконечная последовательность элементов, связанных этим отношением.
- Аксиома используется в теории множеств для доказательства существования трансфинитных последовательностей и является частью аксиоматики Цермело-Френкеля.
-
Эквивалентности и следствия
- Аксиома эквивалентна теореме о категориях Бэра и нисходящей теореме Левенгейма-Сколема.
- Она также эквивалентна утверждению о том, что каждое подрезанное дерево с бесконечным числом уровней имеет ветвь.
- Аксиома связана с леммой Цорна и другими теоремами теории множеств.
-
Связь с другими аксиомами и модели
- Аксиома зависимого выбора не достаточна для доказательства некоторых утверждений, которые требуют полной аксиомы выбора.
- Модель Соловея удовлетворяет аксиомам Цермело-Френкеля и зависимого выбора, но не доказывает существование неизмеримых множеств или множеств без свойства Бэра.
- Аксиома зависимого выбора строго сильнее аксиомы исчисляемого выбора.
-
Обобщение аксиомы
- Если аксиома позволяет создавать бесконечно длинные последовательности, она становится эквивалентной полной аксиоме выбора.