Оглавление
Аналитически неразветвленное кольцо
-
Аналитически неразветвленные кольца
- Локальное кольцо, завершение которого сокращено (не имеет ненулевого нильпотента)
- Примеры: псевдогеометрическое уменьшенное кольцо, отличное уменьшенное кольцо
-
Теоремы Шевалле и Шмидта
- Шевалле: каждое локальное кольцо алгебраического многообразия аналитически неразветвлено
- Шмидт: привёл пример аналитически разветвленного редуцированного локального кольца
-
Теоремы Крулла и Нагаты
- Крулл: одномерное нормальное нетерово локальное кольцо аналитически неразветвлено, если его интегральное замыкание является конечным модулем
- Нагата: привёл пример двумерного нормального аналитически разветвленного нетерова локального кольца
- Нагата: если нормализация каждого конечного расширения данного нетерова локального кольца является конечным модулем, то это кольцо аналитически неразветвлено
-
Теоремы Дэвида Риса
- Первая: нетерово локальное кольцо аналитически неразветвлено тогда и только тогда, когда существует m-первичный идеал J и последовательность nj → ∞ такая, что Jj¯ ⊂ Jnj
- Вторая: нетерова локальная область аналитически неразветвлена тогда и только тогда, когда для каждой конечно порожденной R-алгебры S, лежащей между R и полем дробей K из R, интегральное замыкание S в K является конечно порожденным модулем над S
-
Пример Нагаты
- K0 – идеальное поле с характеристикой 2, например, F2
- K равно K0({un, vn : n ≥ 0}), где un и vn являются неопределенными величинами
- T – подкольцо формального степенного ряда K [[x, y]], порожденного K и K2 [[x, y]] и элементом Σ (unxn+ vnyn)
- T – нормальная локальная нетерова область, завершение которой имеет ненулевые нильпотентные элементы, поэтому T аналитически разветвляется