Аналитические способности
-
Определение аналитической способности
- Аналитическая способность K в комплексной плоскости измеряет размер единичного шара в пространстве аналитических функций за пределами K.
- Введена Ларсом Альфорсом в 1940-х годах для изучения устранимости особенностей аналитических функций.
-
Эквивалентное определение
- Аналитическая способность может быть определена через контур C, охватывающий K, и аналитическую функцию f, удовлетворяющую условиям f(∞) = 0 и f'(∞) = γ(K).
-
Удаляемые множества и проблема Пенлеве
- Компактное множество K называется удаляемым, если каждая функция, ограниченная и голоморфная в открытом множестве Ω \ K, имеет аналитическое расширение в Ω.
- Теорема Римана утверждает, что каждый синглтон является удаляемым, что привело к вопросу Пенлеве о том, какие подмножества C являются удаляемыми.
- Аналитическая способность тесно связана с удаляемостью, и ее точное геометрическое описание остается открытым вопросом.
-
Функция Альфорса
- Для каждого компактного K существует функция Альфорса f, удовлетворяющая условиям ‖f‖ ≤ 1, f(θ) = 0 и f'(θ) = γ(K).
- Функция Альфорса уникальна и может быть доказана с помощью теоремы Монтеля.
-
Аналитическая способность и размерность Хаусдорфа
- Размерность Хаусдорфа и одномерная мера Хаусдорфа связаны с аналитической способностью.
- Если dimH(K) = 1 и H1(K) ∈ (0, ∞], то γ(K) > 0, но если dimH(K) = 1 и H1(K) ∈ (0, ∞], то γ(K) = 0.
- Пример Кантора показывает, что гипотеза Витушкина о связи между аналитической способностью и одномерной мерой Хаусдорфа не всегда верна.
-
Гипотеза Витушкина и ее следствия
- Гипотеза Витушкина утверждает, что аналитическая способность компактного множества K равна одномерной мере Хаусдорфа, взятой по модулю 2π.
- Гай Дэвид и Ксавье Толса доказали, что аналитические способности являются счетно-полуаддитивными, что подразумевает справедливость гипотезы Витушкина для компактных множеств с H1-сигма-конечным числом компонент.
- Пертти Маттила показал, что гипотеза неверна для множеств с H1-сигма-бесконечным числом компонент, а Джон и Мюрей привели пример множества с нулевой длиной Фавара и положительной аналитической способностью.
-
Дополнительные сведения
- В статье также упоминаются емкость множества и конформный радиус, а также ссылки на соответствующие работы и рекомендации.