Ряд Фурье

Оглавление1 Ряд Фурье1.1 Преобразование Фурье и ряды Фурье1.2 История и мотивация1.3 Применение рядов Фурье1.4 Формализм и сходимость1.5 Современные подходы1.6 Определение […]

Оглавление

Ряд Фурье

  • Преобразование Фурье и ряды Фурье

    • Преобразование Фурье используется для анализа периодических функций.  
    • Ряды Фурье представляют функции в виде суммы тригонометрических функций.  
    • Коэффициенты рядов Фурье определяются интегралами от функции.  
  • История и мотивация

    • Джозеф Фурье ввел ряды Фурье для решения уравнения теплопроводности.  
    • Фурье использовал тригонометрические ряды для моделирования сложных источников тепла.  
    • Фурье опубликовал свои результаты в 1807 и 1822 годах.  
  • Применение рядов Фурье

    • Ряды Фурье применяются в электротехнике, анализе вибраций, акустике, оптике и других областях.  
    • Ряды Фурье используются для аппроксимации функций и решения линейных дифференциальных уравнений.  
  • Формализм и сходимость

    • Фурье использовал интегралы для определения коэффициентов рядов Фурье.  
    • Сходимость рядов Фурье зависит от поведения частичных сумм.  
    • Фурье не смог доказать сходимость рядов Фурье для произвольных функций.  
  • Современные подходы

    • Современные подходы к рядам Фурье основаны на математических идеях и инструментах.  
    • Фурье и его последователи внесли значительный вклад в развитие анализа Фурье.  
  • Определение ряда Фурье

    • Ряд Фурье для функции s(x) определяется как тригонометрический ряд.  
    • Коэффициенты Фурье c_n определяются интегралами.  
    • Ряд не обязательно сходится, но при определенных условиях сходится к s(x).  
  • Синтез и анализ рядов Фурье

    • Синтез рядов Фурье включает формирование тригонометрического ряда.  
    • Анализ рядов Фурье включает определение коэффициентов Фурье.  
  • Амплитудно-фазовая форма

    • Ряд Фурье может быть представлен в амплитудно-фазовой форме.  
    • Амплитуда A_n и фазовый сдвиг φ_n определяются через коэффициенты Фурье.  
  • Пример пилообразной функции

    • Пилообразная функция s(x) имеет коэффициенты Фурье a_n и b_n.  
    • Ряд Фурье сходится к s(x) в любой момент, где s дифференцируема.  
  • Общие обозначения и частотная область

    • Обозначения c_n недостаточно для обсуждения различных функций.  
    • В инженерном деле часто используется представление в частотной области.  
    • Коэффициенты ряда Фурье могут быть использованы для модуляции гребенки Дирака.  
  • Преобразование Фурье

    • Преобразование Фурье используется для разложения периодических функций на синусно-косинусные ряды.  
    • Интеграл Фурье от периодической функции не сходится на частотах гармоник.  
  • Основные правила преобразования

    • Сложное спряжение обозначается звездочкой.  
    • Преобразование вещественнозначной функции: (sRE + sRO) = SRE + iSIO.  
    • Преобразование мнимозначной функции: (i sIE + i sIO) = SRO + iSIE.  
    • Преобразование сопряженной симметричной функции: (sRE + i sIO) = SRE + SRO.  
    • Преобразование сопряженной антисимметричной функции: (sRO + i sIE) = iSIE + iSIO.  
  • Лемма Римана–Лебега

    • Если S является интегрируемым, lim |n|→∞ S[n] = 0, lim n→+∞ an = 0 и lim n→+∞ bn = 0.  
  • Теорема Парсеваля

    • Если s принадлежит L2(P), то 1/P ∫P |s(x)|2 dx = ∑n=−∞∞ |S[n]|2.  
  • Теорема Планшереля

    • Если cn — коэффициенты и ∑n=−∞∞ |cn|2 < ∞, то существует уникальная функция s ∈ L2(P) такая, что S[n] = cn для каждого n.  
  • Теоремы о свертке

    • Поточечное произведение: hP(x) = sP(x) ⋅ rP(x) также P-периодический, с коэффициентами в ряду Фурье: H[n] = {S∗R}[n].  
    • Периодическая свертка: hP(x) = ∫P sP(τ) ⋅ rP(x−τ) dτ также P-периодический, с коэффициентами в ряду Фурье: H[n] = P⋅S[n]⋅R[n].  
  • Производная собственность

    • Если s является 2π-периодической функцией на R, которая k раз дифференцируема, и её k-я производная непрерывна, то s принадлежит Ck(R).  
    • Коэффициенты Фурье для k-й производной от s могут быть выражены через коэффициенты Фурье от s.  
  • Компактные группы

    • Преобразование Фурье преобразует свертки в поточечные произведения.  
    • Можно построить ряды Фурье для любой компактной группы.  
  • Римановы многообразия

    • Если домен не является группой, нет внутренне определенной свертки.  
    • Можно использовать собственные решения оператора Лапласа–Бельтрами для обобщения рядов Фурье на пространства типа L2(X).  
  • Локально компактные абелевы группы

    • Обобщение на локально компактные абелевы группы (LCA) приводит к интегралу Фурье для некомпактных групп.  
  • Расширения

    • Ряд Фурье по квадрату: f(x,y) = ∑j,k∈Z cj,k e^jixe^iky.  
    • Ряд Фурье периодической функции решетки Браве: R = n1a1 + n2a2 + n3a3.  
  • Определение функции

    • Функция f(r) подчиняется условию периодичности для любого вектора решетки Браве R.  
    • Функция f(r) может быть эффективным потенциалом, ощущаемым электроном внутри периодического кристалла.  
  • Составление ряда Фурье

    • Вектор положения r в системе координат решетки записывается как x1a1a1 + x2a2a2 + x3a3a3.  
    • Определяется новая функция g(x1, x2, x3) = f(x1a1a1 + x2a2a2 + x3a3a3).  
    • Функция g(x1, x2, x3) имеет периодичность a1, a2, a3 соответственно.  
  • Коэффициенты Фурье

    • Коэффициенты Фурье определяются как интегралы от g(x1, x2, x3) по соответствующим переменным.  
    • Коэффициенты Фурье индексируются целыми числами m1, m2, m3.  
  • Перестановка и скалярное произведение

    • Функция g(x1, x2, x3) может быть переписана как сумма коэффициентов Фурье.  
    • Скалярное произведение вектора обратной решетки G и вектора положения r равно 2π(x1m1a1 + x2m2a2 + x3m3a3).  
  • Решение системы уравнений

    • Система из трех линейных уравнений решается для x, y, z в зависимости от x1, x2, x3.  
    • Определитель Якобиана вычисляется для перехода от системы координат решетки к исходной прямоугольной системе координат.  
  • Определение рядов Фурье

    • Ряды Фурье определяются как интегралы с традиционной системой координат по объему примитивной ячейки.  
    • Объем примитивной ячейки равен произведению векторов a1, a2 и a3.  
  • Гильбертово пространство и ряды Фурье

    • Тригонометрические ряды образуют ортогональную систему в гильбертовом пространстве L2([-π, π]).  
    • Внутреннее произведение в L2([-π, π]) задается интегралом по всему интервалу.  
    • Разложение в ряд Фурье функции f в L2([-π, π]) записывается как сумма произведений f на ортогональные базисные функции.  
  • Сходимость рядов Фурье

    • Ряды Фурье сходятся к функции s, если s непрерывна и дифференцируема.  
    • Сходимость в норме или слабая сходимость изучаются для более общих функций.  
    • Теорема Фурье утверждает, что ряд Фурье является допустимым представлением любой периодической функции.  
  • Свойство наименьших квадратов

    • Тригонометрический многочлен sN является наилучшим приближением функции s.  
    • Теорема Парсеваля утверждает, что sN сходится к s в L2(P) при N → ∞.  
  • Дивергенция рядов Фурье

    • Ряды Фурье могут расходиться, даже если функция непрерывна и дифференцируема.  
    • Примеры функций, ряды Фурье которых расходятся, включают четные и 2π-периодические функции.  
  • Теорема ATS

    • Теорема, связывающая интегралы и производные  
    • Используется в анализе Фурье  
  • Теорема Карлесона

    • Теорема о разложении функций в ряды  
    • Применяется в анализе Фурье  
  • Ядро Дирихле

    • Функция, используемая в анализе Фурье  
    • Применяется для разложения функций в ряды  
  • Дискретное преобразование Фурье

    • Преобразование, используемое в анализе Фурье  
    • Применяется для дискретных функций  
  • Быстрое преобразование Фурье

    • Метод быстрого преобразования Фурье  
    • Используется для ускорения вычислений  
  • Теорема Фейера

    • Теорема, связанная с интегралами и производными  
  • Анализ Фурье

    • Метод анализа, основанный на преобразовании Фурье  
    • Включает ряды синусов и косинусов  
  • Ряды синусов и косинусов Фурье

    • Разложение функций в ряды синусов и косинусов  
  • Преобразование Фурье

    • Метод преобразования функций в ряды  
  • Феномен Гиббса

    • Феномен, связанный с преобразованием Фурье  
  • Полудиапазонный ряд Фурье

    • Ряд, используемый для разложения функций в полудиапазон  
  • Ряд Лорана

    • Преобразование ряда Фурье в ряд Лорана  
    • Используется при разложении j-инварианта  
  • Спектральный анализ методом наименьших квадратов

    • Метод анализа, использующий спектральные данные  
    • Применяется для решения задач  
  • Многомерное преобразование

    • Преобразование функций в многомерные ряды  
    • Применяется в различных областях  
  • Синусоидальные и косинусоидальные преобразования

    • Преобразования функций в синусоидальные и косинусоидальные  
    • Используются в анализе Фурье  
  • Спектральная теория

    • Теория, изучающая спектры функций  
    • Включает интегралы и особенности функций  
  • Теория Штурма–Лиувилля

    • Теория, связанная с интегралами и особенностями функций  
  • Интегралы по теореме вычетов от f (z), особенности, полюса

    • Теорема, используемая в анализе Фурье  
    • Включает особенности и полюса функций  
  • Записи

    • Ссылки на дополнительные материалы  
  • Рекомендации

    • Дальнейшее чтение по теме  
  • Дальнейшее чтение

    • Переиздание работы Фурье «Аналитическая теория Шале»  
    • Перевод работы выполнен Александром Фрименом в 1878 году  
    • Первое издание вышло в 1935 году  
  • Внешние ссылки

    • Сайт о жизни Фурье  
    • Пример рядов Фурье на PlanetMath  

Полный текст статьи:

Ряд Фурье

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх