Оглавление
- 1 Ряд Фурье
- 1.1 Преобразование Фурье и ряды Фурье
- 1.2 История и мотивация
- 1.3 Применение рядов Фурье
- 1.4 Формализм и сходимость
- 1.5 Современные подходы
- 1.6 Определение ряда Фурье
- 1.7 Синтез и анализ рядов Фурье
- 1.8 Амплитудно-фазовая форма
- 1.9 Пример пилообразной функции
- 1.10 Общие обозначения и частотная область
- 1.11 Преобразование Фурье
- 1.12 Основные правила преобразования
- 1.13 Лемма Римана–Лебега
- 1.14 Теорема Парсеваля
- 1.15 Теорема Планшереля
- 1.16 Теоремы о свертке
- 1.17 Производная собственность
- 1.18 Компактные группы
- 1.19 Римановы многообразия
- 1.20 Локально компактные абелевы группы
- 1.21 Расширения
- 1.22 Определение функции
- 1.23 Составление ряда Фурье
- 1.24 Коэффициенты Фурье
- 1.25 Перестановка и скалярное произведение
- 1.26 Решение системы уравнений
- 1.27 Определение рядов Фурье
- 1.28 Гильбертово пространство и ряды Фурье
- 1.29 Сходимость рядов Фурье
- 1.30 Свойство наименьших квадратов
- 1.31 Дивергенция рядов Фурье
- 1.32 Теорема ATS
- 1.33 Теорема Карлесона
- 1.34 Ядро Дирихле
- 1.35 Дискретное преобразование Фурье
- 1.36 Быстрое преобразование Фурье
- 1.37 Теорема Фейера
- 1.38 Анализ Фурье
- 1.39 Ряды синусов и косинусов Фурье
- 1.40 Преобразование Фурье
- 1.41 Феномен Гиббса
- 1.42 Полудиапазонный ряд Фурье
- 1.43 Ряд Лорана
- 1.44 Спектральный анализ методом наименьших квадратов
- 1.45 Многомерное преобразование
- 1.46 Синусоидальные и косинусоидальные преобразования
- 1.47 Спектральная теория
- 1.48 Теория Штурма–Лиувилля
- 1.49 Интегралы по теореме вычетов от f (z), особенности, полюса
- 1.50 Записи
- 1.51 Рекомендации
- 1.52 Дальнейшее чтение
- 1.53 Внешние ссылки
- 1.54 Полный текст статьи:
- 2 Ряд Фурье
Ряд Фурье
-
Преобразование Фурье и ряды Фурье
- Преобразование Фурье используется для анализа периодических функций.
- Ряды Фурье представляют функции в виде суммы тригонометрических функций.
- Коэффициенты рядов Фурье определяются интегралами от функции.
-
История и мотивация
- Джозеф Фурье ввел ряды Фурье для решения уравнения теплопроводности.
- Фурье использовал тригонометрические ряды для моделирования сложных источников тепла.
- Фурье опубликовал свои результаты в 1807 и 1822 годах.
-
Применение рядов Фурье
- Ряды Фурье применяются в электротехнике, анализе вибраций, акустике, оптике и других областях.
- Ряды Фурье используются для аппроксимации функций и решения линейных дифференциальных уравнений.
-
Формализм и сходимость
- Фурье использовал интегралы для определения коэффициентов рядов Фурье.
- Сходимость рядов Фурье зависит от поведения частичных сумм.
- Фурье не смог доказать сходимость рядов Фурье для произвольных функций.
-
Современные подходы
- Современные подходы к рядам Фурье основаны на математических идеях и инструментах.
- Фурье и его последователи внесли значительный вклад в развитие анализа Фурье.
-
Определение ряда Фурье
- Ряд Фурье для функции s(x) определяется как тригонометрический ряд.
- Коэффициенты Фурье c_n определяются интегралами.
- Ряд не обязательно сходится, но при определенных условиях сходится к s(x).
-
Синтез и анализ рядов Фурье
- Синтез рядов Фурье включает формирование тригонометрического ряда.
- Анализ рядов Фурье включает определение коэффициентов Фурье.
-
Амплитудно-фазовая форма
- Ряд Фурье может быть представлен в амплитудно-фазовой форме.
- Амплитуда A_n и фазовый сдвиг φ_n определяются через коэффициенты Фурье.
-
Пример пилообразной функции
- Пилообразная функция s(x) имеет коэффициенты Фурье a_n и b_n.
- Ряд Фурье сходится к s(x) в любой момент, где s дифференцируема.
-
Общие обозначения и частотная область
- Обозначения c_n недостаточно для обсуждения различных функций.
- В инженерном деле часто используется представление в частотной области.
- Коэффициенты ряда Фурье могут быть использованы для модуляции гребенки Дирака.
-
Преобразование Фурье
- Преобразование Фурье используется для разложения периодических функций на синусно-косинусные ряды.
- Интеграл Фурье от периодической функции не сходится на частотах гармоник.
-
Основные правила преобразования
- Сложное спряжение обозначается звездочкой.
- Преобразование вещественнозначной функции: (sRE + sRO) = SRE + iSIO.
- Преобразование мнимозначной функции: (i sIE + i sIO) = SRO + iSIE.
- Преобразование сопряженной симметричной функции: (sRE + i sIO) = SRE + SRO.
- Преобразование сопряженной антисимметричной функции: (sRO + i sIE) = iSIE + iSIO.
-
Лемма Римана–Лебега
- Если S является интегрируемым, lim |n|→∞ S[n] = 0, lim n→+∞ an = 0 и lim n→+∞ bn = 0.
-
Теорема Парсеваля
- Если s принадлежит L2(P), то 1/P ∫P |s(x)|2 dx = ∑n=−∞∞ |S[n]|2.
-
Теорема Планшереля
- Если cn — коэффициенты и ∑n=−∞∞ |cn|2 < ∞, то существует уникальная функция s ∈ L2(P) такая, что S[n] = cn для каждого n.
-
Теоремы о свертке
- Поточечное произведение: hP(x) = sP(x) ⋅ rP(x) также P-периодический, с коэффициентами в ряду Фурье: H[n] = {S∗R}[n].
- Периодическая свертка: hP(x) = ∫P sP(τ) ⋅ rP(x−τ) dτ также P-периодический, с коэффициентами в ряду Фурье: H[n] = P⋅S[n]⋅R[n].
-
Производная собственность
- Если s является 2π-периодической функцией на R, которая k раз дифференцируема, и её k-я производная непрерывна, то s принадлежит Ck(R).
- Коэффициенты Фурье для k-й производной от s могут быть выражены через коэффициенты Фурье от s.
-
Компактные группы
- Преобразование Фурье преобразует свертки в поточечные произведения.
- Можно построить ряды Фурье для любой компактной группы.
-
Римановы многообразия
- Если домен не является группой, нет внутренне определенной свертки.
- Можно использовать собственные решения оператора Лапласа–Бельтрами для обобщения рядов Фурье на пространства типа L2(X).
-
Локально компактные абелевы группы
- Обобщение на локально компактные абелевы группы (LCA) приводит к интегралу Фурье для некомпактных групп.
-
Расширения
- Ряд Фурье по квадрату: f(x,y) = ∑j,k∈Z cj,k e^jixe^iky.
- Ряд Фурье периодической функции решетки Браве: R = n1a1 + n2a2 + n3a3.
-
Определение функции
- Функция f(r) подчиняется условию периодичности для любого вектора решетки Браве R.
- Функция f(r) может быть эффективным потенциалом, ощущаемым электроном внутри периодического кристалла.
-
Составление ряда Фурье
- Вектор положения r в системе координат решетки записывается как x1a1a1 + x2a2a2 + x3a3a3.
- Определяется новая функция g(x1, x2, x3) = f(x1a1a1 + x2a2a2 + x3a3a3).
- Функция g(x1, x2, x3) имеет периодичность a1, a2, a3 соответственно.
-
Коэффициенты Фурье
- Коэффициенты Фурье определяются как интегралы от g(x1, x2, x3) по соответствующим переменным.
- Коэффициенты Фурье индексируются целыми числами m1, m2, m3.
-
Перестановка и скалярное произведение
- Функция g(x1, x2, x3) может быть переписана как сумма коэффициентов Фурье.
- Скалярное произведение вектора обратной решетки G и вектора положения r равно 2π(x1m1a1 + x2m2a2 + x3m3a3).
-
Решение системы уравнений
- Система из трех линейных уравнений решается для x, y, z в зависимости от x1, x2, x3.
- Определитель Якобиана вычисляется для перехода от системы координат решетки к исходной прямоугольной системе координат.
-
Определение рядов Фурье
- Ряды Фурье определяются как интегралы с традиционной системой координат по объему примитивной ячейки.
- Объем примитивной ячейки равен произведению векторов a1, a2 и a3.
-
Гильбертово пространство и ряды Фурье
- Тригонометрические ряды образуют ортогональную систему в гильбертовом пространстве L2([-π, π]).
- Внутреннее произведение в L2([-π, π]) задается интегралом по всему интервалу.
- Разложение в ряд Фурье функции f в L2([-π, π]) записывается как сумма произведений f на ортогональные базисные функции.
-
Сходимость рядов Фурье
- Ряды Фурье сходятся к функции s, если s непрерывна и дифференцируема.
- Сходимость в норме или слабая сходимость изучаются для более общих функций.
- Теорема Фурье утверждает, что ряд Фурье является допустимым представлением любой периодической функции.
-
Свойство наименьших квадратов
- Тригонометрический многочлен sN является наилучшим приближением функции s.
- Теорема Парсеваля утверждает, что sN сходится к s в L2(P) при N → ∞.
-
Дивергенция рядов Фурье
- Ряды Фурье могут расходиться, даже если функция непрерывна и дифференцируема.
- Примеры функций, ряды Фурье которых расходятся, включают четные и 2π-периодические функции.
-
Теорема ATS
- Теорема, связывающая интегралы и производные
- Используется в анализе Фурье
-
Теорема Карлесона
- Теорема о разложении функций в ряды
- Применяется в анализе Фурье
-
Ядро Дирихле
- Функция, используемая в анализе Фурье
- Применяется для разложения функций в ряды
-
Дискретное преобразование Фурье
- Преобразование, используемое в анализе Фурье
- Применяется для дискретных функций
-
Быстрое преобразование Фурье
- Метод быстрого преобразования Фурье
- Используется для ускорения вычислений
-
Теорема Фейера
- Теорема, связанная с интегралами и производными
-
Анализ Фурье
- Метод анализа, основанный на преобразовании Фурье
- Включает ряды синусов и косинусов
-
Ряды синусов и косинусов Фурье
- Разложение функций в ряды синусов и косинусов
-
Преобразование Фурье
- Метод преобразования функций в ряды
-
Феномен Гиббса
- Феномен, связанный с преобразованием Фурье
-
Полудиапазонный ряд Фурье
- Ряд, используемый для разложения функций в полудиапазон
-
Ряд Лорана
- Преобразование ряда Фурье в ряд Лорана
- Используется при разложении j-инварианта
-
Спектральный анализ методом наименьших квадратов
- Метод анализа, использующий спектральные данные
- Применяется для решения задач
-
Многомерное преобразование
- Преобразование функций в многомерные ряды
- Применяется в различных областях
-
Синусоидальные и косинусоидальные преобразования
- Преобразования функций в синусоидальные и косинусоидальные
- Используются в анализе Фурье
-
Спектральная теория
- Теория, изучающая спектры функций
- Включает интегралы и особенности функций
-
Теория Штурма–Лиувилля
- Теория, связанная с интегралами и особенностями функций
-
Интегралы по теореме вычетов от f (z), особенности, полюса
- Теорема, используемая в анализе Фурье
- Включает особенности и полюса функций
-
Записи
- Ссылки на дополнительные материалы
-
Рекомендации
- Дальнейшее чтение по теме
-
Дальнейшее чтение
- Переиздание работы Фурье «Аналитическая теория Шале»
- Перевод работы выполнен Александром Фрименом в 1878 году
- Первое издание вышло в 1935 году
-
Внешние ссылки
- Сайт о жизни Фурье
- Пример рядов Фурье на PlanetMath