Дедекинд-бесконечное множество
-
Определение Дедекинда-бесконечности
- Множество A бесконечно по Дедекинду, если существует инъективное отображение из A в счетно бесконечное множество.
- Множество A слабо Дедекиндово бесконечно, если существует сюръективное отображение из A в счетное множество.
- Множество A двойственно Дедекиндово бесконечно, если существует сюръективное отображение из счетного множества в A.
-
Эквивалентность с аксиомой счетного выбора
- Эквивалентность между Дедекиндовой бесконечностью и счетным выбором (CC) слабее, чем полная сила AC.
- ZF доказывает, что Дедекиндова бесконечность влечет двойственную Дедекиндову бесконечность, слабо Дедекиндову бесконечность и бесконечность.
-
Модели ZF с бесконечными дедекиндовыми множествами
- Существуют модели ZF, в которых существуют бесконечные дедекиндовы множества, например, конечные инъективные последовательности.
- Дедекиндова бесконечность может быть доказана эквивалентной в ZF, даже если AC не выполняется.
-
История и отношение к AC
- Рихард Дедекинд ввел это определение первым, оно отличается от определения бесконечности через натуральные числа.
- AC эквивалентна теореме о правильном упорядочении, поэтому каждое бесконечное множество бесконечно по Дедекинду при условии AC.
- Эквивалентность Дедекиндовой бесконечности и AC слабее, чем полная сила AC, и может быть доказана в ZF.
-
Обобщения и рекомендации
- Множество A является конечным по Дедекинду в теории категорий, если каждый мономорфизм в категорию множеств является изоморфизмом.
- В теории колец фон Неймана кольцо является дедекиндовским, если выполняется условие, аналогичное Дедекиндовой бесконечности.
- В статье приведены ссылки на литературу для более подробного изучения темы.