Оглавление
Бесплатный модуль
-
Определение свободного модуля
- Свободный модуль имеет основу, то есть линейно независимый генерирующий набор.
- Каждое векторное пространство является свободным модулем.
- Если кольцо коэффициентов не является кольцом деления, существуют несвободные модули.
-
Примеры свободных модулей
- Кольцо R является свободным модулем первого ранга над собой.
- Ненулевой идеал из коммутативного кольца свободен, если он главный и сгенерирован ненулевым преобразователем.
- Кольцо многочленов R[X] в неопределенном X является свободным модулем.
- Декартово произведение n копий R является свободным модулем.
-
Формальные линейные комбинации
- Существует свободный R-модуль с основой E, состоящий из элементов с конечным числом ненулевых компонентов.
- Каждый элемент R(E) может быть записан как формальная линейная комбинация элементов E.
-
Универсальное свойство
- Отображение включения E в R(E) является универсальным, определяя функтор из категории наборов в категорию левых R-модулей.
-
Обобщения
- Проективные модули являются прямыми слагаемыми свободных модулей.
- Плоские модули сохраняют точные последовательности при тензорировании.
- Модули без кручения образуют более широкий класс.
- Для конечно порожденного модуля над PID свойства свободный, проективный, плоский и без кручения эквивалентны.