Оглавление [Скрыть]
Биполярная теорема
-
Биполярная теорема
- Теорема функционального анализа, характеризующая биполярность множества.
- В выпуклом анализе относится к необходимым и достаточным условиям равенства конуса и его биполярного сечения.
- Частный случай теоремы Феншеля–Моро.
-
Предварительные приготовления
- X — топологическое векторное пространство с непрерывным двойственным пространством X′.
- Выпуклая оболочка множества A — наименьшее выпуклое множество, содержащее A.
- Выпуклая сбалансированная оболочка множества A — наименьшее выпуклое сбалансированное множество, содержащее A.
- Полярность подмножества A — множество x′, для которых supa∈A|⟨a,x′⟩| ≤ 1.
- Предполюсник подмножества B — множество x, для которых supx′∈B|⟨x,x′⟩| ≤ 1.
- Биполярность подмножества A — множество x, для которых supx′∈A∘|⟨x,x′⟩| ≤ 1.
-
Утверждение в функциональном анализе
- Слабая топология на X — топология, создающая все линейные функционалы в X′ непрерывными.
-
Утверждение в выпуклом анализе
- A∘∘ = cl(co{ra: r ≥ 0, a ∈ A}).
-
Особый случай
- Подмножество C ⊆ X является непустым замкнутым выпуклым конусом тогда и только тогда, когда C∘∘ = C.
- Если C — непустой выпуклый конус, то C∘∘ = cl C.
-
Связь с теоремой Феншеля–Моро
- f(x) := δ(x|C) — индикаторная функция для конуса C.
- f∗(x∗) = δ(x∗|C∘) — функция поддержки для C.
- f∗∗(x) = δ(x|C∘∘) — функция поддержки для C∘∘.
- C = C∘∘ тогда и только тогда, когда f = f∗∗.