C0-полугруппа
-
Определение сильно непрерывной полугруппы
- Сильно непрерывная полугруппа — это представление полугруппы (R+, +) в банаховом пространстве X.
- Карта T: R+ → L(X) удовлетворяет аксиомам полугруппы и непрерывности в топологии строгого оператора.
-
Бесконечно малый генератор
- Бесконечно малый генератор A определяется формулой eAt.
- Область A, D(A), — это множество x∈X, для которого предел существует.
- Оператор A замкнут, но не обязательно ограничен.
-
Равномерно непрерывная полугруппа
- Равномерно непрерывная полугруппа — это сильно непрерывная полугруппа, для которой eAt сходится.
- Бесконечно малый генератор ограничен.
-
Примеры полугрупп
- Полугруппа умножения: оператор Mq генерирует полугруппу умножения.
- Полугруппа перевода: генератор — производная.
-
Абстрактные задачи Коши
- Задача Коши: оператор A порождает сильно непрерывную полугруппу.
- Классическое решение задачи Коши — непрерывно дифференцируемая функция.
- Мягкое решение задачи Коши — непрерывная функция.
-
Теоремы о порождении
- Теорема Хилле–Йосиды: полная характеристика экспоненциально ограниченных полугрупп.
- Теорема Люмера–Филлипса: более простые условия для проверки.
-
Специальные классы полугрупп
- Равномерно непрерывные полугруппы: отображение t → T(t) непрерывно.
- Аналитические полугруппы: ||Γ(t)|| ≤ exp(wt) для всех t ≥ 0.
- Полугруппы сжатия: ||Γ(t)|| ≤ 1 для всех t ≥ 0.
- Дифференцируемые полугруппы: T(t0)X ∈ D(A) для всех t ≥ t0.
- Компактные полугруппы: T(t0) является компактным оператором.
- Нормальные непрерывные полугруппы: отображение t → T(t) непрерывно от (t0, θ) до L(X).
-
Стабильность
- Экспоненциальная стабильность: граница роста полугруппы постоянна.
- Полугруппа сходится к нулю в унифицированной операторной топологии.
- Существует t0 > 0, при котором ‖T(t0)‖ < 1.
- Существует t1 > 0, при котором спектральный радиус T(t1) строго меньше 1.
- Существует p ∈ [1, ∞) такое, что для всех x ∈ X: ∫0∞‖T(t)x‖pdt < ∞.
-
Экспоненциальная устойчивость полугрупп
- Полугруппа называется экспоненциально устойчивой, если она удовлетворяет условиям Lp.
- Теорема Датко-Пази утверждает, что условия Lp эквивалентны экспоненциальной устойчивости.
-
Условия экспоненциальной устойчивости в гильбертовых пространствах
- В гильбертовых пространствах существует условие, эквивалентное экспоненциальной устойчивости через резольвентный оператор генератора.
- Теорема Гирхарта-Прусса утверждает, что резольвентный оператор должен быть равномерно ограничен в правой полуплоскости.
-
Спектральная граница и рост полугрупп
- Спектральная граница оператора A связана с границей роста полугруппы.
- Полугруппы с непрерывной нормой удовлетворяют определяемому спектром условию роста.
- В конечном счете непрерывные полугруппы экспоненциально устойчивы, если s(A) < 0.
-
Сильная устойчивость полугрупп
- Сильно непрерывная полугруппа называется сильно устойчивой, если limt→∞ ‖T(t)x‖ = 0 для всех x ∈ X.
- Экспоненциальная устойчивость подразумевает сильную устойчивость, но обратное неверно для бесконечномерных пространств.
- Теорема Арендт–Бэтти–Любича–Фонга утверждает, что T сильно устойчив, если T ограничено, A не имеет точечного спектра на мнимой оси, и спектр A на мнимой оси счетный.
-
Дополнительные условия и теоремы
- Теорема Хилле–Йосиды, теорема Люмера–Филлипса, теорема Троттера–Като и другие теоремы связаны с экспоненциальной устойчивостью полугрупп.
- Аналитические полугруппы и сжатие также связаны с экспоненциальной устойчивостью.